Номер 327, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.9 Графическое решение уравнений с одной переменной. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 327, страница 116.

327 Найдите с помощью графиков приближённые значения корней уравнений:

1) $x^2 - x - 3 = 0$;

2) $x^2 + 2x - 2 = 0$;

3) $\frac{1}{2}x^2 - x - 1 = 0$;

4) $3 - x - 3x^2 = 0$.

Совет. Выполните задание экономно, с минимальным количеством построений. Для этого представьте каждое уравнение в виде $x^2 = ax + b$ и постройте в одной системе координат параболу $y = x^2$ и четыре прямые. (Воспользуйтесь миллиметровой бумагой.)

Для нахождения приближенных значений корней уравнений воспользуемся советом из задачи. Мы преобразуем каждое уравнение к виду $x^2 = ax + b$. Затем в одной системе координат построим график параболы $y = x^2$ и графики соответствующих линейных функций $y = ax + b$. Абсциссы (координаты $x$) точек пересечения параболы и прямых будут являться приближенными корнями исходных уравнений.

1) $x^2 - x - 3 = 0$

Преобразуем уравнение, выразив $x^2$:

$x^2 = x + 3$

Теперь задача сводится к нахождению точек пересечения графиков функций $y = x^2$ и $y = x + 3$.

График $y = x^2$ — это стандартная парабола, проходящая через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(-1, 1)$, $(2, 4)$, $(-2, 4)$ и т.д.

График $y = x + 3$ — это прямая. Для ее построения найдем две точки:

• при $x=0$, $y = 0 + 3 = 3$. Точка $(0, 3)$.
• при $x=-1$, $y = -1 + 3 = 2$. Точка $(-1, 2)$.

Построив графики, видим, что они пересекаются в двух точках. Абсциссы этих точек и являются корнями уравнения. Приблизительные значения корней, найденные по графику: $x_1 \approx -1.3$ и $x_2 \approx 2.3$.

Ответ: $x_1 \approx -1.3$, $x_2 \approx 2.3$.

2) $x^2 + 2x - 2 = 0$

Преобразуем уравнение, выразив $x^2$:

$x^2 = -2x + 2$

Ищем точки пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = -2x + 2$.

Для построения прямой $y = -2x + 2$ найдем две точки:

• при $x=0$, $y = -2(0) + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
• при $x=1$, $y = -2(1) + 2 = 0$. Точка $(1, 0)$.

Из графика находим, что абсциссы точек пересечения приблизительно равны $x_1 \approx -2.7$ и $x_2 \approx 0.7$.

Ответ: $x_1 \approx -2.7$, $x_2 \approx 0.7$.

3) $\frac{1}{2}x^2 - x - 1 = 0$

Для удобства сначала умножим все члены уравнения на 2, чтобы коэффициент при $x^2$ стал равен 1:

$x^2 - 2x - 2 = 0$

Теперь преобразуем уравнение, выразив $x^2$:

$x^2 = 2x + 2$

Ищем точки пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = 2x + 2$.

Для построения прямой $y = 2x + 2$ найдем две точки:

• при $x=0$, $y = 2(0) + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
• при $x=-1$, $y = 2(-1) + 2 = 0$. Точка $(-1, 0)$.

Из графика находим, что абсциссы точек пересечения приблизительно равны $x_1 \approx -0.7$ и $x_2 \approx 2.7$.

Ответ: $x_1 \approx -0.7$, $x_2 \approx 2.7$.

4) $3 - x - 3x^2 = 0$

Перепишем уравнение в стандартном виде: $-3x^2 - x + 3 = 0$.

Умножим все члены на -1: $3x^2 + x - 3 = 0$.

Разделим уравнение на 3, чтобы получить $x^2$ с коэффициентом 1:

$x^2 + \frac{1}{3}x - 1 = 0$

Преобразуем уравнение, выразив $x^2$:

$x^2 = -\frac{1}{3}x + 1$

Ищем точки пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = -\frac{1}{3}x + 1$.

Для построения прямой $y = -\frac{1}{3}x + 1$ найдем две точки:

• при $x=0$, $y = -\frac{1}{3}(0) + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.
• при $x=3$, $y = -\frac{1}{3}(3) + 1 = -1 + 1 = 0$. Точка $(3, 0)$.

Из графика находим, что абсциссы точек пересечения приблизительно равны $x_1 \approx -1.2$ и $x_2 \approx 0.9$.

Ответ: $x_1 \approx -1.2$, $x_2 \approx 0.9$.