Номер 331, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.9 Графическое решение уравнений с одной переменной. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 331, страница 117.

331 По графику функции $y = f(x)$, изображённому на рисунке 3.23, выясните, сколько корней имеет уравнение:

1) $f(x) = 0$, $f(x) = 2$, $f(x) = 1$, $f(x) = -1$, $f(x) = -3$;

2) $f(x) = x^2$, $f(x) = \frac{1}{x}$.

Рис. 3.23

Для решения задачи необходимо найти количество точек пересечения графика функции $y = f(x)$ с графиками функций, стоящих в правой части уравнений.

1)

Количество корней уравнения $f(x) = c$ равно количеству точек пересечения графика функции $y=f(x)$ с горизонтальной прямой $y=c$.

• Уравнение $f(x) = 0$: Прямая $y=0$ — это ось абсцисс (ось $Ox$). График функции $y = f(x)$ пересекает ось $Ox$ в трех точках.

  Ответ: 3 корня.

• Уравнение $f(x) = 2$: Прямая $y=2$ касается графика функции $y = f(x)$ в одной точке — в точке максимума с координатами $(0, 2)$.

  Ответ: 1 корень.

• Уравнение $f(x) = 1$: Прямая $y=1$ пересекает график функции $y = f(x)$ в двух точках.

  Ответ: 2 корня.

• Уравнение $f(x) = -1$: Прямая $y=-1$ пересекает график функции $y = f(x)$ в двух точках.

  Ответ: 2 корня.

• Уравнение $f(x) = -3$: Прямая $y=-3$ не имеет общих точек с графиком функции $y = f(x)$, так как самая низкая точка на видимой части графика находится примерно на уровне $y \approx -1.8$.

  Ответ: 0 корней.

2)

Количество корней уравнения $f(x) = g(x)$ равно количеству точек пересечения графиков функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$.

• Уравнение $f(x) = x^2$: Построим на том же чертеже график функции $y = x^2$. Это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, проходящая через точки $(-1, 1)$ и $(1, 1)$.
  - В интервале $(-1, 0)$ имеем: $f(-1) < 0$, а $(-1)^2=1$, то есть $f(-1) < (-1)^2$. В точке $x=0$ имеем $f(0) = 2$, а $0^2=0$, то есть $f(0) > 0^2$. Так как обе функции непрерывны, их графики должны пересечься в этом интервале. Это одна точка пересечения.
  - В интервале $(0, 1)$ имеем: $f(0) > 0^2$ и $f(1) = 0 < 1^2$. Графики также должны пересечься. Это вторая точка пересечения.
  - При $x < -1$ и $x > 1$ график $y=x^2$ находится выше графика $y=f(x)$, поэтому других точек пересечения нет.

  Ответ: 2 корня.

• Уравнение $f(x) = \frac{1}{x}$: Построим на том же чертеже график функции $y = \frac{1}{x}$. Это гипербола, расположенная в первом и третьем координатных квадрантах.
  - При $x > 0$ график $y = \frac{1}{x}$ всегда положителен. График $y = f(x)$ положителен только на интервале $(0, 1)$ (и возможно при $x>2.6$, но на рисунке этого не видно). На интервале $(0, 1)$ функция $y = \frac{1}{x}$ убывает от $+\infty$ до $1$. Функция $y=f(x)$ убывает от $2$ до $0$. Поскольку $y = \frac{1}{x}$ проходит через точку $(0.5, 2)$, а максимум $f(x)$ находится в точке $(0, 2)$, то при $x=0.5$ имеем $f(0.5) < f(0) = 2 = \frac{1}{0.5}$. Похоже, что при $x>0$ график $f(x)$ лежит ниже графика $\frac{1}{x}$, и точек пересечения нет.
  - При $x < 0$ график $y = \frac{1}{x}$ всегда отрицателен. График $y=f(x)$ отрицателен при $x < -0.7$ (приблизительно). Сравним значения в точках: при $x = -1$, $f(-1) \approx -0.5$, а $\frac{1}{-1} = -1$. Таким образом, $f(-1) > \frac{1}{-1}$. При $x = -2$, $f(-2) \approx -1.5$, а $\frac{1}{-2} = -0.5$. Таким образом, $f(-2) < \frac{1}{-2}$. Поскольку на интервале $[-2, -1]$ обе функции непрерывны и $f(-2) < \frac{1}{-2}$, а $f(-1) > \frac{1}{-1}$, их графики должны пересечься в одной точке на этом интервале. Других пересечений на видимой части графика нет.

  Ответ: 1 корень.