Номер 335, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.9 Графическое решение уравнений с одной переменной. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 335, страница 117.

При выполнении заданий № 335–336 используйте калькулятор.

335 1) Используя графические соображения, покажите, что уравнение $x^3 = 4 - x^2$ имеет единственный корень.

2) Убедитесь, что корень этого уравнения принадлежит каждому из промежутков: [1; 2], [1; 1,5], [1,3; 1,5], [1,3; 1,4].

Как начинается десятичная запись корня уравнения?

1)

Чтобы показать, что уравнение $x^3 = 4 - x^2$ имеет единственный корень, рассмотрим графики двух функций: $y_1 = x^3$ и $y_2 = 4 - x^2$. Корень уравнения — это абсцисса точки пересечения этих графиков.

Функция $y_1 = x^3$ (кубическая парабола) является строго возрастающей на всей числовой оси. Ее график проходит через начало координат.

Функция $y_2 = 4 - x^2$ (парабола) имеет ветви, направленные вниз. Её вершина находится в точке $(0, 4)$. Эта функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.

Проанализируем возможное количество точек пересечения:

• На промежутке $(0, +\infty)$ функция $y_1 = x^3$ строго возрастает, а функция $y_2 = 4 - x^2$ строго убывает. Две непрерывные функции, одна из которых строго возрастает, а другая строго убывает, могут пересечься на этом промежутке не более одного раза. Чтобы доказать, что пересечение есть, найдем значения функций в некоторых точках.
  При $x=1$: $y_1(1) = 1^3 = 1$, а $y_2(1) = 4 - 1^2 = 3$. Здесь $y_1 < y_2$.
  При $x=2$: $y_1(2) = 2^3 = 8$, а $y_2(2) = 4 - 2^2 = 0$. Здесь $y_1 > y_2$.
  Поскольку на отрезке $[1, 2]$ функции непрерывны и соотношение их значений изменилось ($y_1$ стала больше $y_2$), их графики должны пересечься. Следовательно, на промежутке $(0, +\infty)$ есть ровно одна точка пересечения.
• На промежутке $(-\infty, 0]$ функция $y_1 = x^3$ принимает неположительные значения ($y_1 \le 0$). Функция $y_2 = 4 - x^2$ на отрезке $[-2, 0]$ принимает неотрицательные значения ($y_2 \ge 0$), причем равенство нулю достигается при $x=-2$, где $y_1 = -8$. Таким образом, на отрезке $[-2, 0]$ $y_1 < y_2$, и пересечений нет. При $x < -2$ обе функции отрицательны. Однако, функция $y_1=x^3$ убывает в отрицательную область быстрее, чем $y_2 = 4-x^2$. Рассмотрим разность $f(x) = x^3 + x^2 - 4$. Максимальное значение этой функции при $x \le 0$ достигается в точке локального максимума $x = -2/3$ и равно $f(-2/3) = (-2/3)^3 + (-2/3)^2 - 4 = -104/27 < 0$. Так как максимальное значение функции при $x \le 0$ отрицательно, то уравнение $f(x)=0$ не имеет корней в этой области.

Таким образом, графики функций $y_1 = x^3$ и $y_2 = 4 - x^2$ пересекаются только в одной точке. Это означает, что исходное уравнение имеет единственный корень.

Ответ: График функции $y=x^3$ является монотонно возрастающим. График функции $y=4-x^2$ — парабола с вершиной в точке $(0, 4)$ и ветвями вниз. При $x \le 0$ значения $x^3$ всегда меньше значений $4-x^2$, поэтому корней нет. При $x > 0$ одна функция возрастает, а другая убывает, поэтому они могут пересечься не более одного раза. Проверка значений на отрезке $[1,2]$ показывает, что пересечение существует, значит, корень единственный.

2)

Перепишем уравнение в виде $x^3 + x^2 - 4 = 0$. Обозначим $f(x) = x^3 + x^2 - 4$. Чтобы убедиться, что корень $x_0$ принадлежит промежутку $[a, b]$, достаточно проверить, что значения функции $f(x)$ на концах этого промежутка имеют разные знаки (по теореме о промежуточном значении для непрерывных функций).

• Промежуток [1; 2]:
  $f(1) = 1^3 + 1^2 - 4 = 1 + 1 - 4 = -2$
  $f(2) = 2^3 + 2^2 - 4 = 8 + 4 - 4 = 8$
  Так как $f(1) < 0$ и $f(2) > 0$, корень принадлежит промежутку $[1; 2]$.
• Промежуток [1; 1,5]:
  $f(1) = -2$
  $f(1.5) = (1.5)^3 + (1.5)^2 - 4 = 3.375 + 2.25 - 4 = 5.625 - 4 = 1.625$
  Так как $f(1) < 0$ и $f(1.5) > 0$, корень принадлежит промежутку $[1; 1,5]$.
• Промежуток [1,3; 1,5]:
  $f(1.3) = (1.3)^3 + (1.3)^2 - 4 = 2.197 + 1.69 - 4 = 3.887 - 4 = -0.113$
  $f(1.5) = 1.625$
  Так как $f(1.3) < 0$ и $f(1.5) > 0$, корень принадлежит промежутку $[1,3; 1,5]$.
• Промежуток [1,3; 1,4]:
  $f(1.3) = -0.113$
  $f(1.4) = (1.4)^3 + (1.4)^2 - 4 = 2.744 + 1.96 - 4 = 4.704 - 4 = 0.704$
  Так как $f(1.3) < 0$ и $f(1.4) > 0$, корень принадлежит промежутку $[1,3; 1,4]$.

Мы последовательно уточнили, что корень $x_0$ уравнения находится в следующих вложенных промежутках:

$x_0 \in [1; 2] \supset [1; 1.5] \supset [1.3; 1.5] \supset [1.3; 1.4]$

Последний промежуток $[1,3; 1,4]$ означает, что $1.3 < x_0 < 1.4$. Это значит, что целая часть корня равна 1, а первая цифра после запятой равна 3.

Ответ: Десятичная запись корня уравнения начинается с 1,3…