Номер 2, страница 120 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Решение системы уравнений второй степени. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 2, страница 120.

2 Решите систему уравнений разными способами (в качестве образца воспользуйтесь примером 1):

a) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 41, \\ xy = 20; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ xy = -12. \end{cases}$

a)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 41 \\ xy = 20 \end{cases} $

Способ 1: Метод подстановки

1. Из второго уравнения выразим y через x (поскольку $xy=20$, то $x \neq 0$):

$y = \frac{20}{x}$

2. Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 + \left(\frac{20}{x}\right)^2 = 41$

$x^2 + \frac{400}{x^2} = 41$

3. Умножим обе части уравнения на $x^2$, чтобы избавиться от знаменателя:

$x^4 + 400 = 41x^2$

4. Перенесём все члены в одну часть, чтобы получить биквадратное уравнение:

$x^4 - 41x^2 + 400 = 0$

5. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$ (где $t \ge 0$):

$t^2 - 41t + 400 = 0$

6. Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 41, а произведение равно 400. Корни: $t_1 = 16$ и $t_2 = 25$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

7. Вернёмся к исходной переменной x:

Если $t = 16$, то $x^2 = 16$, откуда $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

Если $t = 25$, то $x^2 = 25$, откуда $x_3 = 5$ и $x_4 = -5$.

8. Найдём соответствующие значения y, используя $y = \frac{20}{x}$:

При $x_1 = 4$, $y_1 = \frac{20}{4} = 5$.

При $x_2 = -4$, $y_2 = \frac{20}{-4} = -5$.

При $x_3 = 5$, $y_3 = \frac{20}{5} = 4$.

При $x_4 = -5$, $y_4 = \frac{20}{-5} = -4$.

Таким образом, получаем четыре пары решений: (4, 5), (-4, -5), (5, 4), (-5, -4).

Способ 2: Использование формул сокращенного умножения

1. Данная система является симметрической. Используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

2. Подставим известные значения из системы:

$(x+y)^2 = (x^2 + y^2) + 2(xy) = 41 + 2(20) = 41 + 40 = 81$

3. Отсюда находим возможные значения для суммы $x+y$:

$x+y = \sqrt{81} \implies x+y = 9$ или $x+y = -9$.

4. Задача сводится к решению двух более простых систем уравнений:

Система 1: $ \begin{cases} x+y = 9 \\ xy = 20 \end{cases} $
Система 2: $ \begin{cases} x+y = -9 \\ xy = 20 \end{cases} $

5. Решим каждую систему. По обратной теореме Виета, x и y являются корнями соответствующего квадратного уравнения.

Для Системы 1: уравнение $u^2 - 9u + 20 = 0$. Корни $u_1 = 4, u_2 = 5$. Это даёт решения (4, 5) и (5, 4).

Для Системы 2: уравнение $u^2 - (-9)u + 20 = 0$, то есть $u^2 + 9u + 20 = 0$. Корни $u_1 = -4, u_2 = -5$. Это даёт решения (-4, -5) и (-5, -4).

6. Объединив решения обеих систем, получаем тот же набор пар.

Ответ: (4, 5), (5, 4), (-4, -5), (-5, -4).

---

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ xy = -12 \end{cases} $

Способ 1: Метод подстановки

1. Из второго уравнения выразим y через x (поскольку $xy=-12$, то $x \neq 0$):

$y = -\frac{12}{x}$

2. Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 + \left(-\frac{12}{x}\right)^2 = 25$

$x^2 + \frac{144}{x^2} = 25$

3. Умножим обе части уравнения на $x^2$:

$x^4 + 144 = 25x^2$

4. Получим биквадратное уравнение:

$x^4 - 25x^2 + 144 = 0$

5. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$ (где $t \ge 0$):

$t^2 - 25t + 144 = 0$

6. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 25, а произведение 144. Корни: $t_1 = 9$ и $t_2 = 16$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

7. Вернёмся к переменной x:

Если $t = 9$, то $x^2 = 9$, откуда $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Если $t = 16$, то $x^2 = 16$, откуда $x_3 = 4$ и $x_4 = -4$.

8. Найдём соответствующие значения y, используя $y = -\frac{12}{x}$:

При $x_1 = 3$, $y_1 = -\frac{12}{3} = -4$.

При $x_2 = -3$, $y_2 = -\frac{12}{-3} = 4$.

При $x_3 = 4$, $y_3 = -\frac{12}{4} = -3$.

При $x_4 = -4$, $y_4 = -\frac{12}{-4} = 3$.

Таким образом, получаем четыре пары решений: (3, -4), (-3, 4), (4, -3), (-4, 3).

Способ 2: Использование формул сокращенного умножения

1. Используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$.

2. Подставим известные значения из системы:

$(x+y)^2 = 25 + 2(-12) = 25 - 24 = 1$

3. Отсюда находим возможные значения для суммы $x+y$:

$x+y = \sqrt{1} \implies x+y = 1$ или $x+y = -1$.

4. Решаем две системы:

Система 1: $ \begin{cases} x+y = 1 \\ xy = -12 \end{cases} $
Система 2: $ \begin{cases} x+y = -1 \\ xy = -12 \end{cases} $

5. По обратной теореме Виета, x и y являются корнями соответствующего квадратного уравнения.

Для Системы 1: уравнение $u^2 - u - 12 = 0$. Корни $u_1 = 4, u_2 = -3$. Это даёт решения (4, -3) и (-3, 4).

Для Системы 2: уравнение $u^2 - (-1)u - 12 = 0$, то есть $u^2 + u - 12 = 0$. Корни $u_1 = -4, u_2 = 3$. Это даёт решения (-4, 3) и (3, -4).

6. Объединив решения, получаем полный набор пар.

Ответ: (3, -4), (-3, 4), (4, -3), (-4, 3).