Страница 120 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1 Система уравнений $\begin{cases} x^2 + y^2 = 34, \\ xy = 15 \end{cases}$ имеет четыре решения. Одно из них – пара чисел (3; 5). Не решая систему, укажите остальные три решения.

Данная система уравнений:$\begin{cases}x^2 + y^2 = 34 \\xy = 15\end{cases}$обладает свойством симметрии.

Проанализируем оба уравнения.

1. В уравнении $x^2 + y^2 = 34$ переменные $x$ и $y$ входят в четных степенях. Это означает, что если пара чисел $(x_0; y_0)$ является решением, то и пары $(-x_0; -y_0)$, $(x_0; -y_0)$, $(-x_0; y_0)$ также будут удовлетворять этому уравнению. Кроме того, уравнение симметрично относительно перестановки переменных, то есть если $(x_0; y_0)$ является решением, то и $(y_0; x_0)$ тоже является решением.

2. В уравнении $xy = 15$ произведение $xy$ должно быть положительным. Это означает, что $x$ и $y$ должны быть одного знака. Если пара $(x_0; y_0)$ является решением, то и пара $(-x_0; -y_0)$ будет решением, так как $(-x_0)(-y_0) = x_0y_0 = 15$. Однако пары $(x_0; -y_0)$ и $(-x_0; y_0)$ не будут решениями, так как произведение будет равно $-15$. Уравнение также симметрично относительно перестановки переменных: если $x_0y_0 = 15$, то и $y_0x_0 = 15$.

Объединяя эти свойства, можно сделать вывод: если пара $(x_0; y_0)$ является решением системы, то следующие пары также будут решениями:

• $(y_0; x_0)$ (из-за симметрии относительно перестановки переменных в обоих уравнениях).
• $(-x_0; -y_0)$ (из-за симметрии относительно смены знаков у обеих переменных в обоих уравнениях).
• $(-y_0; -x_0)$ (как результат применения обеих операций).

Нам дано одно решение: $(3; 5)$. Применим к нему указанные преобразования, чтобы найти остальные три решения:

1. Меняем местами компоненты в паре $(3; 5)$ и получаем второе решение: $(5; 3)$.

2. Меняем знаки у обеих компонент в паре $(3; 5)$ и получаем третье решение: $(-3; -5)$.

3. Меняем знаки у обеих компонент в паре $(5; 3)$ (или, что то же самое, меняем местами компоненты в паре $(-3; -5)$) и получаем четвертое решение: $(-5; -3)$.

Таким образом, остальные три решения системы — это $(5; 3)$, $(-3; -5)$ и $(-5; -3)$.
Ответ: $(5; 3)$, $(-3; -5)$, $(-5; -3)$.

2 Решите систему уравнений разными способами (в качестве образца воспользуйтесь примером 1):

a) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 41, \\ xy = 20; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ xy = -12. \end{cases}$

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 41 \\ xy = 20 \end{cases} $

Способ 1: Метод подстановки

1. Из второго уравнения выразим y через x (поскольку $xy=20$, то $x \neq 0$):

$y = \frac{20}{x}$

2. Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 + \left(\frac{20}{x}\right)^2 = 41$

$x^2 + \frac{400}{x^2} = 41$

3. Умножим обе части уравнения на $x^2$, чтобы избавиться от знаменателя:

$x^4 + 400 = 41x^2$

4. Перенесём все члены в одну часть, чтобы получить биквадратное уравнение:

$x^4 - 41x^2 + 400 = 0$

5. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$ (где $t \ge 0$):

$t^2 - 41t + 400 = 0$

6. Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 41, а произведение равно 400. Корни: $t_1 = 16$ и $t_2 = 25$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

7. Вернёмся к исходной переменной x:

Если $t = 16$, то $x^2 = 16$, откуда $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

Если $t = 25$, то $x^2 = 25$, откуда $x_3 = 5$ и $x_4 = -5$.

8. Найдём соответствующие значения y, используя $y = \frac{20}{x}$:

При $x_1 = 4$, $y_1 = \frac{20}{4} = 5$.

При $x_2 = -4$, $y_2 = \frac{20}{-4} = -5$.

При $x_3 = 5$, $y_3 = \frac{20}{5} = 4$.

При $x_4 = -5$, $y_4 = \frac{20}{-5} = -4$.

Таким образом, получаем четыре пары решений: (4, 5), (-4, -5), (5, 4), (-5, -4).

Способ 2: Использование формул сокращенного умножения

1. Данная система является симметрической. Используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

2. Подставим известные значения из системы:

$(x+y)^2 = (x^2 + y^2) + 2(xy) = 41 + 2(20) = 41 + 40 = 81$

3. Отсюда находим возможные значения для суммы $x+y$:

$x+y = \sqrt{81} \implies x+y = 9$ или $x+y = -9$.

4. Задача сводится к решению двух более простых систем уравнений:

Система 1: $ \begin{cases} x+y = 9 \\ xy = 20 \end{cases} $
Система 2: $ \begin{cases} x+y = -9 \\ xy = 20 \end{cases} $

5. Решим каждую систему. По обратной теореме Виета, x и y являются корнями соответствующего квадратного уравнения.

Для Системы 1: уравнение $u^2 - 9u + 20 = 0$. Корни $u_1 = 4, u_2 = 5$. Это даёт решения (4, 5) и (5, 4).

Для Системы 2: уравнение $u^2 - (-9)u + 20 = 0$, то есть $u^2 + 9u + 20 = 0$. Корни $u_1 = -4, u_2 = -5$. Это даёт решения (-4, -5) и (-5, -4).

6. Объединив решения обеих систем, получаем тот же набор пар.

Ответ: (4, 5), (5, 4), (-4, -5), (-5, -4).

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ xy = -12 \end{cases} $

Способ 1: Метод подстановки

1. Из второго уравнения выразим y через x (поскольку $xy=-12$, то $x \neq 0$):

$y = -\frac{12}{x}$

2. Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 + \left(-\frac{12}{x}\right)^2 = 25$

$x^2 + \frac{144}{x^2} = 25$

3. Умножим обе части уравнения на $x^2$:

$x^4 + 144 = 25x^2$

4. Получим биквадратное уравнение:

$x^4 - 25x^2 + 144 = 0$

5. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$ (где $t \ge 0$):

$t^2 - 25t + 144 = 0$

6. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 25, а произведение 144. Корни: $t_1 = 9$ и $t_2 = 16$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

7. Вернёмся к переменной x:

Если $t = 9$, то $x^2 = 9$, откуда $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Если $t = 16$, то $x^2 = 16$, откуда $x_3 = 4$ и $x_4 = -4$.

8. Найдём соответствующие значения y, используя $y = -\frac{12}{x}$:

При $x_1 = 3$, $y_1 = -\frac{12}{3} = -4$.

При $x_2 = -3$, $y_2 = -\frac{12}{-3} = 4$.

При $x_3 = 4$, $y_3 = -\frac{12}{4} = -3$.

При $x_4 = -4$, $y_4 = -\frac{12}{-4} = 3$.

Таким образом, получаем четыре пары решений: (3, -4), (-3, 4), (4, -3), (-4, 3).

Способ 2: Использование формул сокращенного умножения

1. Используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$.

2. Подставим известные значения из системы:

$(x+y)^2 = 25 + 2(-12) = 25 - 24 = 1$

3. Отсюда находим возможные значения для суммы $x+y$:

$x+y = \sqrt{1} \implies x+y = 1$ или $x+y = -1$.

4. Решаем две системы:

Система 1: $ \begin{cases} x+y = 1 \\ xy = -12 \end{cases} $
Система 2: $ \begin{cases} x+y = -1 \\ xy = -12 \end{cases} $

5. По обратной теореме Виета, x и y являются корнями соответствующего квадратного уравнения.

Для Системы 1: уравнение $u^2 - u - 12 = 0$. Корни $u_1 = 4, u_2 = -3$. Это даёт решения (4, -3) и (-3, 4).

Для Системы 2: уравнение $u^2 - (-1)u - 12 = 0$, то есть $u^2 + u - 12 = 0$. Корни $u_1 = -4, u_2 = 3$. Это даёт решения (-4, 3) и (3, -4).

6. Объединив решения, получаем полный набор пар.

Ответ: (3, -4), (-3, 4), (4, -3), (-4, 3).

1) Рассмотрим систему

$\begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 7, \\ x + xy + y = 5. \end{cases}$ Входящие в нее уравнения содержат сумму переменных $x + y$, их произведение $xy$ и сумму квадратов $x^2 + y^2$. Сумму квадратов $x^2 + y^2$ можно выразить через сумму $x + y$ и произведение $xy$: $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$.

И система примет вид $\begin{cases} (x + y)^2 - xy = 7, \\ (x + y) + xy = 5. \end{cases}$ Такую систему удобно решить с помощью замены: $x + y = a, xy = b$. Получим систему $\begin{cases} a^2 - b = 7, \\ a + b = 5. \end{cases}$

Решив её, найдём две пары чисел $a$ и $b$, удовлетворяющих системе: $a_1 = -4, b_1 = 9$ и $a_2 = 3, b_2 = 2$.

Выполнив обратную замену, получим две системы уравнений, на которые распадается исходная система: $\begin{cases} x + y = -4, \\ xy = 9 \end{cases}$ и $\begin{cases} x + y = 3, \\ xy = 2. \end{cases}$

Первая система решений не имеет, решения второй — пары $(1; 2)$ и $(2; 1)$. Ответ: $(1; 2), (2; 1)$.

2) Воспользовавшись приёмом, разобранным в п. 1, решите систему уравнений

$\begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 21, \\ x + xy + y = 9. \end{cases}$

2)

Дана система уравнений:

Для решения этой системы воспользуемся приёмом, разобранным в пункте 1. Введём замену переменных: $a = x + y$ и $b = xy$.

Преобразуем систему. Второе уравнение $(x + y) + xy = 9$ примет вид $a + b = 9$.

Для первого уравнения используем тождество $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = a^2 - 2b$. Тогда уравнение $x^2 + y^2 + xy = 21$ превращается в $(a^2 - 2b) + b = 21$, что упрощается до $a^2 - b = 21$.

В результате получаем систему уравнений для $a$ и $b$:

Решим эту систему. Из второго уравнения выразим $b = 9 - a$ и подставим в первое:

$a^2 - (9 - a) = 21$
$a^2 + a - 9 - 21 = 0$
$a^2 + a - 30 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $a$. Его корни можно найти по теореме Виета: $a_1 \cdot a_2 = -30$ и $a_1 + a_2 = -1$. Подходят числа $a_1 = 5$ и $a_2 = -6$.

Теперь найдем соответствующие значения $b$:

1. Если $a_1 = 5$, то $b_1 = 9 - 5 = 4$.

2. Если $a_2 = -6$, то $b_2 = 9 - (-6) = 15$.

Далее выполним обратную замену, разбив задачу на два случая.

Случай 1: $a = 5, b = 4$.

Система для $x$ и $y$ имеет вид:

По обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 4 = 0$.
Корни этого уравнения $t_1 = 1, t_2 = 4$.
Следовательно, решениями являются пары $(1; 4)$ и $(4; 1)$.

Случай 2: $a = -6, b = 15$.

Система для $x$ и $y$ имеет вид:

Здесь $x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 - (-6)t + 15 = 0$, то есть $t^2 + 6t + 15 = 0$.
Дискриминант этого уравнения $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 36 - 60 = -24$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, и эта система не имеет решений.

Таким образом, решениями исходной системы являются только пары, найденные в первом случае.

Ответ: $(1; 4), (4; 1)$.

4 Решите систему уравнений

с помощью подходящей замены.

Для решения данной системы уравнений введем замену переменных. Обратим внимание, что в оба уравнения входят выражения $(x-1)$ и $(y-2)$.

Пусть $a = x - 1$ и $b = y - 2$.

Тогда исходная система примет следующий вид: $ \begin{cases} a^2 + b^2 = 18, \\ ab = 9 \end{cases} $

Мы получили симметрическую систему относительно переменных $a$ и $b$. Для её решения воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Подставим в нее известные нам значения $a^2 + b^2 = 18$ и $ab = 9$:

$(a + b)^2 = 18 + 2 \cdot 9 = 18 + 18 = 36$.

Из этого уравнения следует, что $a + b = 6$ или $a + b = -6$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $a + b = 6$ и $ab = 9$.

Согласно теореме, обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - (a+b)z + ab = 0$, то есть $z^2 - 6z + 9 = 0$.

Левая часть уравнения является полным квадратом: $(z - 3)^2 = 0$.

Отсюда находим единственный корень $z = 3$. Это означает, что $a = 3$ и $b = 3$.

Случай 2: $a + b = -6$ и $ab = 9$.

Аналогично первому случаю, составим квадратное уравнение: $z^2 - (-6)z + 9 = 0$, что равносильно $z^2 + 6z + 9 = 0$.

Левая часть этого уравнения также является полным квадратом: $(z + 3)^2 = 0$.

Отсюда находим корень $z = -3$. Это означает, что $a = -3$ и $b = -3$.

Теперь, когда мы нашли значения для $a$ и $b$, выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$.

Из первого случая ($a = 3, b = 3$) получаем систему: $ \begin{cases} x - 1 = 3 \\ y - 2 = 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 4 \\ y = 5 \end{cases} $

Из второго случая ($a = -3, b = -3$) получаем систему: $ \begin{cases} x - 1 = -3 \\ y - 2 = -3 \end{cases} \implies \begin{cases} x = -2 \\ y = -1 \end{cases} $

Таким образом, исходная система имеет два решения.

Ответ: $(4; 5)$, $(-2; -1)$.

5 Предложите замену, которая упростила бы систему $ \begin{cases} x^2 + y^2 + 2x + 2y = 11, \\ (x+1)^2 - (y+1)^2 = 5. \end{cases} $

Решите систему, введя новые переменные.

Предложите замену, которая упростила бы систему

Рассмотрим исходную систему уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 + 2x + 2y = 11 \\ (x + 1)^2 - (y + 1)^2 = 5 \end{cases} $$ Преобразуем первое уравнение, выделив в нем полные квадраты:
$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 2y + 1) - 1 - 1 = 11$
$(x + 1)^2 + (y + 1)^2 - 2 = 11$
$(x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 13$
Теперь система имеет вид: $$ \begin{cases} (x+1)^2 + (y+1)^2 = 13 \\ (x + 1)^2 - (y + 1)^2 = 5 \end{cases} $$ В обоих уравнениях присутствуют одинаковые выражения $(x+1)^2$ и $(y+1)^2$. Это позволяет сделать замену переменных для упрощения системы.

Ответ: Для упрощения системы можно ввести новые переменные: $u = (x+1)^2$ и $v = (y+1)^2$.

Решите систему, введя новые переменные

Воспользуемся предложенной заменой. Пусть $u = (x+1)^2$ и $v = (y+1)^2$. Так как $u$ и $v$ являются квадратами действительных чисел, они должны быть неотрицательными: $u \ge 0$, $v \ge 0$.
Система в новых переменных выглядит следующим образом: $$ \begin{cases} u + v = 13 \\ u - v = 5 \end{cases} $$ Это простая система линейных уравнений. Решим ее методом сложения. Сложим первое и второе уравнения:
$(u+v) + (u-v) = 13 + 5$
$2u = 18$
$u = 9$
Теперь подставим найденное значение $u$ в первое уравнение системы:
$9 + v = 13$
$v = 4$
Полученные значения $u=9$ и $v=4$ удовлетворяют условиям неотрицательности.
Выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$.
Для $u=9$:
$(x+1)^2 = 9$
$x+1 = \pm\sqrt{9}$
$x+1 = 3$ или $x+1 = -3$
Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 2$, $x_2 = -4$.
Для $v=4$:
$(y+1)^2 = 4$
$y+1 = \pm\sqrt{4}$
$y+1 = 2$ или $y+1 = -2$
Отсюда получаем два значения для $y$: $y_1 = 1$, $y_2 = -3$.
Поскольку переменные $x$ и $y$ в преобразованной системе независимы, решением будут все возможные комбинации найденных значений. Таким образом, получаем четыре пары решений:

• при $x=2$: $y=1$ или $y=-3$. Пары: $(2, 1)$ и $(2, -3)$.
• при $x=-4$: $y=1$ или $y=-3$. Пары: $(-4, 1)$ и $(-4, -3)$.

Ответ: $(2, 1)$, $(2, -3)$, $(-4, 1)$, $(-4, -3)$.

6 Система уравнений ${ \begin{cases} x^3 + y^3 = 35, \\ x + y = 5 \end{cases} }$ содержит уравнение третьей степени, но решается она довольно просто. Решите её двумя способами.

Способ 1. Воспользуйтесь подстановкой, например $y = 5 - x$, и затем примените к выражению $(5 - x)^3$ формулу куба разности $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Способ 2. Выразите $x^3 + y^3$ через $x + y$ и $xy$ с помощью формулы куба суммы, но записанной в виде $a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$. Затем подставьте вместо суммы $x + y$ её значение, известное из второго уравнения.

Способ 1.

Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения системы выразим y через x:

$x + y = 5 \implies y = 5 - x$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы:

$x^3 + (5 - x)^3 = 35$

Раскроем скобки, используя формулу куба разности $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:

$(5 - x)^3 = 5^3 - 3 \cdot 5^2 \cdot x + 3 \cdot 5 \cdot x^2 - x^3 = 125 - 75x + 15x^2 - x^3$

Подставим результат в уравнение:

$x^3 + 125 - 75x + 15x^2 - x^3 = 35$

Приведем подобные слагаемые:

$15x^2 - 75x + 125 - 35 = 0$

$15x^2 - 75x + 90 = 0$

Разделим обе части уравнения на 15, чтобы упростить его:

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Теперь найдем соответствующие значения y:

1) Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 5 - x_1 = 5 - 2 = 3$.

2) Если $x_2 = 3$, то $y_2 = 5 - x_2 = 5 - 3 = 2$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(2; 3), (3; 2)$.

Способ 2.

Воспользуемся формулой суммы кубов, записанной в виде $a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$.

Применим эту формулу к первому уравнению системы:

$x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$

Из условия системы нам известны значения $x^3 + y^3 = 35$ и $x + y = 5$. Подставим их в формулу:

$35 = 5^3 - 3xy \cdot 5$

Упростим полученное уравнение:

$35 = 125 - 15xy$

Выразим отсюда произведение $xy$:

$15xy = 125 - 35$

$15xy = 90$

$xy = \frac{90}{15}$

$xy = 6$

Теперь исходная система эквивалентна следующей системе:

$\begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, x и y являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$.

Решая это уравнение, находим корни $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Это означает, что переменные x и y принимают эти значения. Если $x=2$, то $y=3$, и если $x=3$, то $y=2$.

Ответ: $(2; 3), (3; 2)$.

7. Решите систему уравнений $ \begin{cases} x^4 + y^4 = 32, \\ x^2 + y^2 = 8. \end{cases} $

Совет. Примените замену $x^2 = a, y^2 = b.$

Для решения данной системы уравнений воспользуемся советом и введем замену переменных. Пусть $a = x^2$ и $b = y^2$.

Поскольку $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$, то для новых переменных должны выполняться условия $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Выразим $x^4$ и $y^4$ через $a$ и $b$. Получим $x^4 = (x^2)^2 = a^2$ и $y^4 = (y^2)^2 = b^2$.

Подставим новые переменные в исходную систему уравнений:

$ \begin{cases} a^2 + b^2 = 32 \\ a + b = 8 \end{cases} $

Теперь решим полученную систему. Возведем второе уравнение в квадрат:

$(a + b)^2 = 8^2$

$a^2 + 2ab + b^2 = 64$

Из первого уравнения системы мы знаем, что $a^2 + b^2 = 32$. Подставим это значение в полученное уравнение:

$32 + 2ab = 64$

Выразим $2ab$:

$2ab = 64 - 32$

$2ab = 32$

$ab = 16$

Теперь у нас есть новая, более простая система:

$ \begin{cases} a + b = 8 \\ ab = 16 \end{cases} $

Согласно обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$.

$t^2 - 8t + 16 = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(t - 4)^2 = 0$

Отсюда находим единственный корень $t = 4$.

Следовательно, $a = 4$ и $b = 4$. Эти значения удовлетворяют условиям $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$, выполнив обратную замену:

$x^2 = a \implies x^2 = 4$

$y^2 = b \implies y^2 = 4$

Решим эти простые уравнения:

Из $x^2 = 4$ следует, что $x = \pm \sqrt{4}$, то есть $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Из $y^2 = 4$ следует, что $y = \pm \sqrt{4}$, то есть $y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.

Поскольку в исходной системе переменные $x$ и $y$ входят только в четных степенях, любая комбинация полученных значений $x$ и $y$ будет решением. Таким образом, получаем четыре пары решений.

Ответ: $(2, 2)$, $(2, -2)$, $(-2, 2)$, $(-2, -2)$.

8 Решите систему уравнений $\begin{cases} x^4 + y^4 = 17, \\ xy = -2, \end{cases}$ воспользовавшись в качестве образца примером 2.

Дана система уравнений:$$ \begin{cases} x^4 + y^4 = 17 \\ xy = -2 \end{cases} $$

Данная система является симметрической, поскольку уравнения не изменяются при замене $x$ на $y$ и $y$ на $x$. Для решения таких систем удобно использовать замену переменных через элементарные симметрические многочлены: $u = x+y$ и $v = xy$.

Из второго уравнения системы мы сразу получаем значение $v = xy = -2$.

Теперь преобразуем первое уравнение, выразив $x^4+y^4$ через $u$ и $v$. Для этого последовательно находим:$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = u^2 - 2v$.$x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2 = (u^2 - 2v)^2 - 2v^2$.Подставив это выражение в первое уравнение системы, получаем:$(u^2 - 2v)^2 - 2v^2 = 17$.

Теперь подставим известное значение $v = -2$ в полученное уравнение и решим его относительно $u$:$(u^2 - 2(-2))^2 - 2(-2)^2 = 17$$(u^2 + 4)^2 - 2(4) = 17$$(u^2 + 4)^2 - 8 = 17$$(u^2 + 4)^2 = 25$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных случая:1) $u^2 + 4 = 5 \implies u^2 = 1 \implies u = 1$ или $u = -1$.2) $u^2 + 4 = -5 \implies u^2 = -9$, данное уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, нам необходимо рассмотреть два случая, соответствующих двум найденным значениям $u$.

Случай 1: $u = 1$ и $v = -2$.Система для $x$ и $y$ принимает вид:$$ \begin{cases} x + y = 1 \\ xy = -2 \end{cases} $$Согласно теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$, то есть $t^2 - t - 2 = 0$.Корни этого уравнения: $t_1 = 2, t_2 = -1$.Следовательно, получаем две пары решений: $(2, -1)$ и $(-1, 2)$.

Случай 2: $u = -1$ и $v = -2$.Система для $x$ и $y$ принимает вид:$$ \begin{cases} x + y = -1 \\ xy = -2 \end{cases} $$Аналогично, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-1)t - 2 = 0$, то есть $t^2 + t - 2 = 0$.Корни этого уравнения: $t_1 = 1, t_2 = -2$.Следовательно, получаем еще две пары решений: $(1, -2)$ и $(-2, 1)$.

Объединяя решения, полученные в обоих случаях, находим все решения исходной системы.

Ответ: $(2, -1), (-1, 2), (1, -2), (-2, 1)$.