Страница 124 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1Разбейте выражения

$x^2 - 3$; $\frac{2}{x - 3}$; $\frac{a}{3} - \frac{b}{2} + 1$; $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$; $5a^2bc^3$

на целые и дробные. Каким общим термином можно назвать все перечисленные выражения?

Разбейте выражения на целые и дробные.

Для решения этой задачи необходимо определить, какие из выражений содержат деление на переменную, а какие нет.

• Целые выражения — это алгебраические выражения, не содержащие деления на переменную. К ним относятся многочлены и одночлены.
• Дробные выражения — это алгебраические выражения, которые содержат деление на переменную или на выражение с переменной.

Проанализируем каждое выражение:

Целые выражения:

• $x^2 - 3$ — это многочлен, он не содержит деления на переменную.
• $\frac{a}{3} - \frac{b}{2} + 1$ — это выражение содержит деление только на числа (константы), а не на переменные, поэтому оно является целым. Его можно представить в виде многочлена $\frac{1}{3}a - \frac{1}{2}b + 1$.
• $5a^2bc^3$ — это одночлен, он не содержит деления на переменную.

Дробные выражения:

• $\frac{2}{x-3}$ — это выражение содержит деление на выражение $x-3$, в котором есть переменная.
• $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ — это выражение содержит деление на переменные $m$ и $n$.

Ответ: Целые выражения: $x^2 - 3$; $\frac{a}{3} - \frac{b}{2} + 1$; $5a^2bc^3$. Дробные выражения: $\frac{2}{x-3}$; $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$.

Каким общим термином можно назвать все перечисленные выражения?

Все выражения, которые составлены из чисел и переменных с помощью арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление) и возведения в натуральную степень, называются рациональными выражениями.

Рациональные выражения включают в себя как целые, так и дробные выражения. Любое целое выражение (многочлен $P$) можно представить в виде рациональной дроби со знаменателем 1, то есть $\frac{P}{1}$. Дробные выражения по определению являются отношением двух многочленов. Таким образом, все перечисленные выражения относятся к одному классу.

Ответ: Все перечисленные выражения можно назвать общим термином — рациональные выражения.

2 Вычислите значение выражения при указанных значениях переменных:

a) $1 - 0,5a^2 + 2a^3$ при $a = -1;$

б) $\frac{2x^3 - x}{2}$ при $x = -2;$

в) $\frac{a + b}{b}$ при $a = -2,5$ и $b = 3;$

г) $x - y - 3z$ при $x = -0,4, y = -0,6, z = -0,3.$

а) Подставим значение $a = -1$ в выражение $1 - 0,5a^2 + 2a^3$.
$1 - 0,5 \cdot (-1)^2 + 2 \cdot (-1)^3 = 1 - 0,5 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) = 1 - 0,5 - 2 = 0,5 - 2 = -1,5$.
Ответ: -1,5

б) Подставим значение $x = -2$ в выражение $\frac{2x^3 - x}{2}$.
$\frac{2 \cdot (-2)^3 - (-2)}{2} = \frac{2 \cdot (-8) + 2}{2} = \frac{-16 + 2}{2} = \frac{-14}{2} = -7$.
Ответ: -7

в) Подставим значения $a = -2,5$ и $b = 3$ в выражение $\frac{a + b}{b}$.
$\frac{-2,5 + 3}{3} = \frac{0,5}{3} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$

г) Подставим значения $x = -0,4$, $y = -0,6$ и $z = -0,3$ в выражение $x - y - 3z$.
$(-0,4) - (-0,6) - 3 \cdot (-0,3) = -0,4 + 0,6 - (-0,9) = -0,4 + 0,6 + 0,9 = 0,2 + 0,9 = 1,1$.
Ответ: 1,1

3 Найдите область определения выражения:

a) $ \frac{1}{2}x^2 - 2x + 2; $

б) $ \frac{2x}{(x - 1)(x + 5)}; $

в) $ \frac{x - 4}{12x + 3x^2}; $

г) $ \frac{x^2 - 3}{x^2 + 3}. $

а) Выражение $\frac{1}{2}x^2 - 2x + 2$ является многочленом (в данном случае, квадратичной функцией). Многочлены определены для любых действительных значений переменной $x$, так как в них отсутствуют операции деления на переменную или извлечения корня из переменной. Поэтому область определения — все действительные числа.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) Выражение $\frac{2x}{(x-1)(x+5)}$ является дробно-рациональным. Область определения такого выражения — это все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:
$(x-1)(x+5) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$x - 1 = 0$ или $x + 5 = 0$
$x = 1$ или $x = -5$
Следовательно, область определения выражения — все действительные числа, кроме $1$ и $-5$.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-5; 1) \cup (1; +\infty)$.

в) Выражение $\frac{x-4}{12x+3x^2}$ является дробно-рациональным. Его область определения — все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. Приравняем знаменатель к нулю и решим уравнение:
$12x + 3x^2 = 0$
Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:
$3x(4 + x) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$3x = 0$ или $4 + x = 0$
$x = 0$ или $x = -4$
Таким образом, область определения — все действительные числа, кроме $0$ и $-4$.
Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; 0) \cup (0; +\infty)$.

г) Выражение $\frac{x^2-3}{x^2+3}$ является дробно-рациональным. Найдем значения $x$, при которых знаменатель $x^2+3$ равен нулю:
$x^2 + 3 = 0$
$x^2 = -3$
Данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$). Следовательно, знаменатель $x^2 + 3$ всегда положителен (а именно, $x^2+3 \ge 3$) и никогда не равен нулю. Это означает, что выражение определено для всех действительных чисел.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

4 Упростите выражение:

а) $\frac{a^2 - 1}{a^2} - \frac{a^2 - 9}{a} \cdot \frac{1}{a + 3};$

б) $(\frac{x - y}{x + y} - \frac{x + y}{x - y}) : \frac{4}{x^2 - y^2};$

В) $2a - \frac{a^2 - 5a}{a + 1} \cdot \frac{1}{a - 5};$

Г) $(x + 4) \cdot \frac{x + 6}{x^2 - 16} - \frac{x - 6}{x - 4}.$

а) $ \frac{a^2 - 1}{a^2} - \frac{a^2 - 9}{a} \cdot \frac{1}{a + 3} $
В первую очередь выполняем умножение дробей. Для этого разложим числитель $a^2 - 9$ на множители по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)$
Теперь умножение выглядит так:
$ \frac{a^2 - 9}{a} \cdot \frac{1}{a + 3} = \frac{(a - 3)(a + 3)}{a} \cdot \frac{1}{a + 3} $
Сокращаем общий множитель $(a + 3)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \neq -3$):
$ \frac{(a - 3)\sout{(a + 3)}}{a} \cdot \frac{1}{\sout{a + 3}} = \frac{a - 3}{a} $
Подставляем полученное выражение обратно в исходное:
$ \frac{a^2 - 1}{a^2} - \frac{a - 3}{a} $
Приводим дроби к общему знаменателю $a^2$. Для этого домножим числитель и знаменатель второй дроби на $a$:
$ \frac{a^2 - 1}{a^2} - \frac{a(a - 3)}{a^2} = \frac{a^2 - 1 - (a^2 - 3a)}{a^2} $
Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые:
$ \frac{a^2 - 1 - a^2 + 3a}{a^2} = \frac{3a - 1}{a^2} $
Ответ: $ \frac{3a - 1}{a^2} $

б) $ (\frac{x - y}{x + y} - \frac{x + y}{x - y}) : \frac{4}{x^2 - y^2} $
Сначала выполняем действие в скобках — вычитание дробей. Находим общий знаменатель, используя формулу разности квадратов: $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$.
$ \frac{(x - y)(x - y)}{(x + y)(x - y)} - \frac{(x + y)(x + y)}{(x - y)(x + y)} = \frac{(x - y)^2 - (x + y)^2}{x^2 - y^2} $
Раскрываем квадраты в числителе по формулам квадрата разности и квадрата суммы:
$ \frac{(x^2 - 2xy + y^2) - (x^2 + 2xy + y^2)}{x^2 - y^2} $
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{x^2 - 2xy + y^2 - x^2 - 2xy - y^2}{x^2 - y^2} = \frac{-4xy}{x^2 - y^2} $
Теперь выполняем деление. Деление на дробь заменяем умножением на обратную ей дробь:
$ \frac{-4xy}{x^2 - y^2} : \frac{4}{x^2 - y^2} = \frac{-4xy}{x^2 - y^2} \cdot \frac{x^2 - y^2}{4} $
Сокращаем общие множители $4$ и $(x^2 - y^2)$ (при условии, что $x^2 \neq y^2$):
$ \frac{-\sout{4}xy}{\sout{x^2 - y^2}} \cdot \frac{\sout{x^2 - y^2}}{\sout{4}} = -xy $
Ответ: $ -xy $

в) $ 2a - \frac{a^2 - 5a}{a + 1} \cdot \frac{1}{a - 5} $
Сначала выполняем умножение дробей. Для этого вынесем общий множитель $a$ в числителе $a^2 - 5a$:
$ a^2 - 5a = a(a - 5) $
Умножение принимает вид:
$ \frac{a(a - 5)}{a + 1} \cdot \frac{1}{a - 5} $
Сокращаем на общий множитель $(a - 5)$ (при условии, что $a \neq 5$):
$ \frac{a\sout{(a - 5)}}{a + 1} \cdot \frac{1}{\sout{a - 5}} = \frac{a}{a + 1} $
Подставляем результат в исходное выражение:
$ 2a - \frac{a}{a + 1} $
Приводим к общему знаменателю $(a + 1)$. Для этого представляем $2a$ в виде дроби со знаменателем $(a + 1)$:
$ \frac{2a(a + 1)}{a + 1} - \frac{a}{a + 1} = \frac{2a^2 + 2a}{a + 1} - \frac{a}{a + 1} $
Выполняем вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
$ \frac{2a^2 + 2a - a}{a + 1} = \frac{2a^2 + a}{a + 1} $
В числителе можно вынести общий множитель $a$ за скобки:
$ \frac{a(2a + 1)}{a + 1} $
Ответ: $ \frac{a(2a + 1)}{a + 1} $

г) $ (x + 4) \cdot \frac{x + 6}{x^2 - 16} - \frac{x - 6}{x - 4} $
Сначала выполняем умножение. Разложим знаменатель $x^2 - 16$ на множители по формуле разности квадратов:
$ x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) $
Умножение принимает вид:
$ (x + 4) \cdot \frac{x + 6}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{x + 4}{1} \cdot \frac{x + 6}{(x - 4)(x + 4)} $
Сокращаем на общий множитель $(x + 4)$ (при условии, что $x \neq -4$):
$ \frac{\sout{x + 4}}{1} \cdot \frac{x + 6}{(x - 4)\sout{(x + 4)}} = \frac{x + 6}{x - 4} $
Подставляем результат в исходное выражение:
$ \frac{x + 6}{x - 4} - \frac{x - 6}{x - 4} $
Дроби имеют одинаковый знаменатель, поэтому вычитаем их числители:
$ \frac{(x + 6) - (x - 6)}{x - 4} $
Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые:
$ \frac{x + 6 - x + 6}{x - 4} = \frac{12}{x - 4} $
Ответ: $ \frac{12}{x - 4} $

5 Докажите тождество $x(x+y) - y(x+y) = x^2 - y^2$.

Для того чтобы доказать тождество, необходимо преобразовать одну из его частей так, чтобы она стала идентичной другой части. Преобразуем левую часть равенства: $x(x + y) - y(x + y)$.

Это можно сделать двумя способами.

Способ 1: Раскрытие скобок

Сначала раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения. Умножим $x$ на выражение в скобках $(x + y)$ и $-y$ на то же выражение:

$x(x + y) - y(x + y) = (x \cdot x + x \cdot y) - (y \cdot x + y \cdot y)$

Выполним умножение:

$x^2 + xy - yx - y^2$

Поскольку $xy$ и $yx$ — это одно и то же, приведем подобные слагаемые:

$x^2 + (xy - xy) - y^2 = x^2 + 0 - y^2 = x^2 - y^2$

Способ 2: Вынесение общего множителя за скобки

В левой части выражения $x(x + y) - y(x + y)$ есть общий множитель $(x + y)$. Вынесем его за скобки:

$x(x + y) - y(x + y) = (x - y)(x + y)$

Полученное выражение является формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Применим эту формулу:

$(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$

Оба способа показывают, что левая часть тождества равна $x^2 - y^2$, что полностью совпадает с его правой частью. Таким образом, тождество доказано.

$x^2 - y^2 = x^2 - y^2$

Ответ: Тождество доказано, так как в результате алгебраических преобразований левая часть выражения $x(x + y) - y(x + y)$ приводится к виду правой части $x^2 - y^2$.

6 Докажите, что равенство $(x - 1)^2 = x^2 - 1$ не является тождеством.

Тождество — это равенство, которое остаётся верным при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Чтобы доказать, что равенство не является тождеством, достаточно найти хотя бы одно значение переменной, при котором оно не выполняется (так называемый контрпример), либо преобразовать одну из частей равенства и показать, что она не равна другой части.

Рассмотрим данное равенство: $(x - 1)^2 = x^2 - 1$.

Способ 1: Алгебраическое преобразование

Преобразуем левую часть равенства, используя формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Для нашего выражения $a = x$ и $b = 1$.

$(x - 1)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 - 2x + 1$.

Теперь сравним то, что у нас получилось, с правой частью исходного равенства:

$x^2 - 2x + 1 \neq x^2 - 1$.

Поскольку преобразованная левая часть не равна правой части для всех значений x, исходное равенство не является тождеством.

Способ 2: Метод контрпримера

Чтобы подтвердить наш вывод, подставим в исходное равенство какое-либо конкретное число вместо x. Возьмем, например, $x = 2$.

Вычислим значение левой части:

$(2 - 1)^2 = 1^2 = 1$.

Вычислим значение правой части:

$2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$.

Мы получили, что $1 \neq 3$.

Поскольку мы нашли значение x, при котором равенство не выполняется, это доказывает, что оно не является тождеством.

Ответ: Равенство $(x - 1)^2 = x^2 - 1$ не является тождеством. Это можно доказать, раскрыв скобки в левой части: $(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$, что не равно $x^2 - 1$. Также можно привести контрпример: при $x = 2$ левая часть равна 1, а правая равна 3, то есть $1 \neq 3$.