Страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

10 Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} x + y = 2, \\ x^2 + 2y = 12; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y = 5, \\ xy = -14; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 26, \\ x - y = 4. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + y = 2 \\ x^2 + 2y = 12 \end{cases} $

Это система, состоящая из линейного и квадратного уравнений. Для ее решения удобно использовать метод подстановки. Выразим y из первого уравнения:
$y = 2 - x$

Теперь подставим полученное выражение для y во второе уравнение системы:
$x^2 + 2(2 - x) = 12$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 4 - 2x = 12$
$x^2 - 2x + 4 - 12 = 0$
$x^2 - 2x - 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два корня. Найдем их:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Для каждого найденного значения x найдем соответствующее значение y, используя формулу $y = 2 - x$:
Если $x_1 = 4$, то $y_1 = 2 - 4 = -2$.
Если $x_2 = -2$, то $y_2 = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(4; -2)$, $(-2; 4)$.

б)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + y = 5 \\ xy = -14 \end{cases} $

Эта система симметрична относительно переменных x и y. Такие системы удобно решать с помощью теоремы, обратной теореме Виета. Согласно ей, числа x и y являются корнями некоторого квадратного уравнения вида $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

Подставим в это уравнение известные нам значения суммы ($x+y=5$) и произведения ($xy=-14$) переменных:
$t^2 - 5t - 14 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно t. Найдем дискриминант:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$

Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{5 + \sqrt{81}}{2} = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7$
$t_2 = \frac{5 - \sqrt{81}}{2} = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Найденные корни t и являются решениями для пары (x, y). Это означает, что если $x = 7$, то $y = -2$, и наоборот, если $x = -2$, то $y = 7$.

Ответ: $(7; -2)$, $(-2; 7)$.

в)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 26 \\ x - y = 4 \end{cases} $

Решим эту систему методом подстановки. Выразим x из второго, более простого, уравнения:
$x = 4 + y$

Подставим это выражение для x в первое уравнение:
$(4 + y)^2 + y^2 = 26$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, и приведем уравнение к стандартному виду:
$(16 + 8y + y^2) + y^2 = 26$
$2y^2 + 8y + 16 - 26 = 0$
$2y^2 + 8y - 10 = 0$

Для удобства разделим все члены уравнения на 2:
$y^2 + 4y - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение для y. Найдем дискриминант:
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$

Найдем корни уравнения:
$y_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$y_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Теперь для каждого значения y найдем соответствующее значение x по формуле $x = 4 + y$:
Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 4 + 1 = 5$.
Если $y_2 = -5$, то $x_2 = 4 + (-5) = -1$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(5; 1)$, $(-1; -5)$.

11 Вычислите координаты точек пересечения графиков функций $y = 4 - x^2$ и $y = x - 2$.

Для того чтобы найти координаты точек пересечения графиков двух функций, необходимо найти такие значения $x$ и $y$, которые удовлетворяют обоим уравнениям одновременно. Это означает, что в точках пересечения значения $y$ у обеих функций равны. Поэтому мы можем приравнять выражения для $y$.

Даны функции: $y = 4 - x^2$ и $y = x - 2$.

Приравниваем правые части уравнений:
$4 - x^2 = x - 2$

Теперь преобразуем полученное уравнение в стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. Для этого перенесем все члены в правую часть:
$0 = x^2 + x - 2 - 4$
$x^2 + x - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=1$, $c=-6$.
Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Мы нашли абсциссы (координаты $x$) точек пересечения. Теперь необходимо найти соответствующие им ординаты (координаты $y$). Для этого подставим каждое найденное значение $x$ в уравнение любой из исходных функций. Воспользуемся более простым уравнением $y = x - 2$.

При $x_1 = 2$:
$y_1 = 2 - 2 = 0$
Первая точка пересечения имеет координаты $(2, 0)$.

При $x_2 = -3$:
$y_2 = -3 - 2 = -5$
Вторая точка пересечения имеет координаты $(-3, -5)$.

Таким образом, графики функций пересекаются в двух точках.

Ответ: $(2, 0)$ и $(-3, -5)$.

12. Решите задачу:

а) Прямоугольный участок земли площадью $60 м^2$ обнесён изгородью, длина которой 32 м. Найдите длины сторон участка.

б) Диагональ прямоугольника равна 20 см, и одна сторона на 4 см больше другой. Найдите длины сторон прямоугольника.

а)

Пусть стороны прямоугольного участка равны $a$ и $b$ метров. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, а периметр (длина изгороди) по формуле $P = 2(a+b)$. По условию задачи имеем систему из двух уравнений:

$ \begin{cases} a \cdot b = 60 \\ 2(a+b) = 32 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим сумму сторон: $a+b = 32 / 2$ $a+b = 16$

Теперь выразим одну переменную через другую, например, $b$ через $a$: $b = 16 - a$

Подставим это выражение в первое уравнение системы: $a \cdot (16 - a) = 60$ $16a - a^2 = 60$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $a^2 - 16a + 60 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета. Нам нужны два числа, сумма которых равна 16, а произведение равно 60. Эти числа — 10 и 6. Таким образом, корни уравнения: $a_1 = 10$ и $a_2 = 6$.

Если одна сторона $a = 10$ м, то вторая сторона $b = 16 - 10 = 6$ м. Если одна сторона $a = 6$ м, то вторая сторона $b = 16 - 6 = 10$ м. В обоих случаях длины сторон участка — 10 м и 6 м.

Ответ: длины сторон участка равны 6 м и 10 м.

б)

Пусть одна сторона прямоугольника равна $x$ см. По условию, другая сторона на 4 см больше, значит, ее длина равна $(x+4)$ см. Диагональ, две стороны и прямой угол прямоугольника образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора, квадрат диагонали равен сумме квадратов сторон: $d^2 = a^2 + b^2$.

Подставим наши значения: $20^2 = x^2 + (x+4)^2$

Решим полученное уравнение: $400 = x^2 + (x^2 + 8x + 16)$ $400 = 2x^2 + 8x + 16$

Перенесем все в одну сторону и приведем подобные слагаемые: $2x^2 + 8x + 16 - 400 = 0$ $2x^2 + 8x - 384 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения: $x^2 + 4x - 192 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192) = 16 + 768 = 784$ $\sqrt{D} = \sqrt{784} = 28$

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-4 + 28}{2} = \frac{24}{2} = 12$ $x_2 = \frac{-4 - 28}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Так как длина стороны не может быть отрицательной, корень $x_2 = -16$ не является решением задачи. Следовательно, одна сторона прямоугольника равна 12 см.

Найдем вторую сторону: $x+4 = 12+4 = 16$ см. Таким образом, стороны прямоугольника равны 12 см и 16 см.

Ответ: длины сторон прямоугольника равны 12 см и 16 см.