Номер 12, страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Подведём итоги. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 12, страница 126.

12. Решите задачу:

а) Прямоугольный участок земли площадью $60 м^2$ обнесён изгородью, длина которой 32 м. Найдите длины сторон участка.

б) Диагональ прямоугольника равна 20 см, и одна сторона на 4 см больше другой. Найдите длины сторон прямоугольника.

а)

Пусть стороны прямоугольного участка равны $a$ и $b$ метров. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, а периметр (длина изгороди) по формуле $P = 2(a+b)$. По условию задачи имеем систему из двух уравнений:

$ \begin{cases} a \cdot b = 60 \\ 2(a+b) = 32 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим сумму сторон: $a+b = 32 / 2$ $a+b = 16$

Теперь выразим одну переменную через другую, например, $b$ через $a$: $b = 16 - a$

Подставим это выражение в первое уравнение системы: $a \cdot (16 - a) = 60$ $16a - a^2 = 60$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $a^2 - 16a + 60 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета. Нам нужны два числа, сумма которых равна 16, а произведение равно 60. Эти числа — 10 и 6. Таким образом, корни уравнения: $a_1 = 10$ и $a_2 = 6$.

Если одна сторона $a = 10$ м, то вторая сторона $b = 16 - 10 = 6$ м. Если одна сторона $a = 6$ м, то вторая сторона $b = 16 - 6 = 10$ м. В обоих случаях длины сторон участка — 10 м и 6 м.

Ответ: длины сторон участка равны 6 м и 10 м.

б)

Пусть одна сторона прямоугольника равна $x$ см. По условию, другая сторона на 4 см больше, значит, ее длина равна $(x+4)$ см. Диагональ, две стороны и прямой угол прямоугольника образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора, квадрат диагонали равен сумме квадратов сторон: $d^2 = a^2 + b^2$.

Подставим наши значения: $20^2 = x^2 + (x+4)^2$

Решим полученное уравнение: $400 = x^2 + (x^2 + 8x + 16)$ $400 = 2x^2 + 8x + 16$

Перенесем все в одну сторону и приведем подобные слагаемые: $2x^2 + 8x + 16 - 400 = 0$ $2x^2 + 8x - 384 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения: $x^2 + 4x - 192 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192) = 16 + 768 = 784$ $\sqrt{D} = \sqrt{784} = 28$

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-4 + 28}{2} = \frac{24}{2} = 12$ $x_2 = \frac{-4 - 28}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Так как длина стороны не может быть отрицательной, корень $x_2 = -16$ не является решением задачи. Следовательно, одна сторона прямоугольника равна 12 см.

Найдем вторую сторону: $x+4 = 12+4 = 16$ см. Таким образом, стороны прямоугольника равны 12 см и 16 см.

Ответ: длины сторон прямоугольника равны 12 см и 16 см.