Номер 9, страница 125 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Подведём итоги. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 9, страница 125.

9 Решите задачу:

а) Лодка за одно и то же время может проплыть по течению реки 45 км, а против течения — 27 км. Скорость течения реки 3 км/ч. С какой скоростью плывёт лодка в стоячей воде?

б) Велосипедист проехал 4 км по участку шоссе, на котором шёл ремонт, и 6 км — по уже отремонтированному участку. Его скорость на первом участке была на 4 км/ч меньше, чем на втором. На весь путь он затратил 1 ч. С какой скоростью ехал велосипедист на каждом участке?

а)

Пусть $v$ км/ч — собственная скорость лодки, то есть её скорость в стоячей воде.
Скорость течения реки составляет 3 км/ч.
Тогда скорость лодки по течению реки равна $(v + 3)$ км/ч, а скорость лодки против течения реки равна $(v - 3)$ км/ч.
Время, которое лодка плыла по течению, можно найти по формуле $t = S/v$. Оно составляет $t_1 = \frac{45}{v+3}$ часа.
Время, которое лодка плыла против течения, составляет $t_2 = \frac{27}{v-3}$ часа.
По условию задачи, время движения по течению и против течения одинаково ($t_1 = t_2$). Составим и решим уравнение:

$\frac{45}{v+3} = \frac{27}{v-3}$

Используя основное свойство пропорции, получим:
$45 \cdot (v - 3) = 27 \cdot (v + 3)$
Раскроем скобки:
$45v - 135 = 27v + 81$
Перенесём слагаемые с переменной $v$ в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую:
$45v - 27v = 81 + 135$
$18v = 216$
$v = \frac{216}{18}$
$v = 12$

Следовательно, скорость лодки в стоячей воде составляет 12 км/ч.
Ответ: 12 км/ч.

б)

Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста на первом участке (на котором шёл ремонт).
По условию, его скорость на втором участке была на 4 км/ч больше, значит, она составляла $(x + 4)$ км/ч.
Время, затраченное на первый участок, равно $t_1 = \frac{4}{x}$ ч.
Время, затраченное на второй участок, равно $t_2 = \frac{6}{x+4}$ ч.
Общее время на весь путь составило 1 час, поэтому $t_1 + t_2 = 1$.
Составим и решим уравнение:

$\frac{4}{x} + \frac{6}{x+4} = 1$

Приведём дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+4)$:
$\frac{4(x+4) + 6x}{x(x+4)} = 1$
$\frac{4x + 16 + 6x}{x^2 + 4x} = 1$
$\frac{10x + 16}{x^2 + 4x} = 1$
При условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -4$, мы можем умножить обе части на знаменатель:
$10x + 16 = x^2 + 4x$
Перенесём все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 4x - 10x - 16 = 0$
$x^2 - 6x - 16 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$.
Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{100}}{2} = \frac{6 + 10}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{100}}{2} = \frac{6 - 10}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -2$ не является решением задачи.

Таким образом, скорость велосипедиста на первом участке (где шёл ремонт) равна 8 км/ч.
Скорость на втором, отремонтированном, участке равна $x + 4 = 8 + 4 = 12$ км/ч.
Ответ: 8 км/ч на участке, где шёл ремонт, и 12 км/ч на отремонтированном участке.