Номер 3, страница 124 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Подведём итоги. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 3, страница 124.

3 Найдите область определения выражения:

a) $ \frac{1}{2}x^2 - 2x + 2; $

б) $ \frac{2x}{(x - 1)(x + 5)}; $

в) $ \frac{x - 4}{12x + 3x^2}; $

г) $ \frac{x^2 - 3}{x^2 + 3}. $

а) Выражение $\frac{1}{2}x^2 - 2x + 2$ является многочленом (в данном случае, квадратичной функцией). Многочлены определены для любых действительных значений переменной $x$, так как в них отсутствуют операции деления на переменную или извлечения корня из переменной. Поэтому область определения — все действительные числа.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) Выражение $\frac{2x}{(x-1)(x+5)}$ является дробно-рациональным. Область определения такого выражения — это все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:
$(x-1)(x+5) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$x - 1 = 0$ или $x + 5 = 0$
$x = 1$ или $x = -5$
Следовательно, область определения выражения — все действительные числа, кроме $1$ и $-5$.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-5; 1) \cup (1; +\infty)$.

в) Выражение $\frac{x-4}{12x+3x^2}$ является дробно-рациональным. Его область определения — все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. Приравняем знаменатель к нулю и решим уравнение:
$12x + 3x^2 = 0$
Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:
$3x(4 + x) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$3x = 0$ или $4 + x = 0$
$x = 0$ или $x = -4$
Таким образом, область определения — все действительные числа, кроме $0$ и $-4$.
Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; 0) \cup (0; +\infty)$.

г) Выражение $\frac{x^2-3}{x^2+3}$ является дробно-рациональным. Найдем значения $x$, при которых знаменатель $x^2+3$ равен нулю:
$x^2 + 3 = 0$
$x^2 = -3$
Данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$). Следовательно, знаменатель $x^2 + 3$ всегда положителен (а именно, $x^2+3 \ge 3$) и никогда не равен нулю. Это означает, что выражение определено для всех действительных чисел.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.