Номер 8, страница 123 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Уравнение с параметром. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 8, страница 123.

8 Найдите значения параметра b, при которых точка пересечения прямых $y = 10 - 2x$ и $y = 4x + b$ находится в четвёртой координатной четверти.

Чтобы найти точку пересечения прямых $y = 10 - 2x$ и $y = 4x + b$, необходимо найти такие значения $x$ и $y$, которые удовлетворяют обоим уравнениям. Для этого приравняем правые части уравнений:

$10 - 2x = 4x + b$

Теперь выразим координату $x$ точки пересечения через параметр $b$:

$10 - b = 4x + 2x$

$10 - b = 6x$

$x = \frac{10 - b}{6}$

Далее, чтобы найти координату $y$, подставим полученное выражение для $x$ в любое из исходных уравнений. Например, в первое:

$y = 10 - 2x = 10 - 2\left(\frac{10 - b}{6}\right) = 10 - \frac{10 - b}{3}$

Приведем выражение к общему знаменателю:

$y = \frac{30}{3} - \frac{10 - b}{3} = \frac{30 - (10 - b)}{3} = \frac{30 - 10 + b}{3} = \frac{20 + b}{3}$

Таким образом, координаты точки пересечения $(x_0; y_0)$ равны:

$x_0 = \frac{10 - b}{6}$

$y_0 = \frac{20 + b}{3}$

По условию, точка пересечения должна находиться в четвёртой координатной четверти. Для любой точки в четвёртой четверти её абсцисса (координата $x$) положительна, а ордината (координата $y$) отрицательна. Запишем это в виде системы неравенств:

$\begin{cases} x_0 > 0 \\ y_0 < 0 \end{cases}$

Подставим в систему найденные выражения для $x_0$ и $y_0$:

$\begin{cases} \frac{10 - b}{6} > 0 \\ \frac{20 + b}{3} < 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство относительно $b$.

1. Решаем первое неравенство:

$\frac{10 - b}{6} > 0$

Так как знаменатель 6 — положительное число, знак неравенства сохраняется при умножении обеих частей на 6:

$10 - b > 0$

$10 > b$, или $b < 10$

2. Решаем второе неравенство:

$\frac{20 + b}{3} < 0$

Так как знаменатель 3 — положительное число, знак неравенства сохраняется при умножении обеих частей на 3:

$20 + b < 0$

$b < -20$

Для того чтобы точка пересечения находилась в четвёртой четверти, оба условия должны выполняться одновременно: $b < 10$ и $b < -20$.

Пересечением этих двух условий является интервал $b < -20$, так как если число меньше -20, оно автоматически меньше 10.

Ответ: $b \in (-\infty; -20)$.