Номер 4, страница 122 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Уравнение с параметром. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 4, страница 122.

4 При каких значениях параметра c данное уравнение имеет два корня; имеет два корня разных знаков:

a) $x^2 - 12x + c = 0$;

б) $x^2 + cx - 4 = 0$;

в) $2x^2 + cx + 2 = 0?$

а) $x^2 - 12x + c = 0$

Чтобы данное квадратное уравнение имело два различных корня, его дискриминант $D$ должен быть строго положительным. Для уравнения $x^2 - 12x + c = 0$ дискриминант равен $D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot c = 144 - 4c$. Решим неравенство $D > 0$: $144 - 4c > 0$, что равносильно $4c < 144$, и, следовательно, $c < 36$.

Чтобы уравнение имело два корня разных знаков, необходимо и достаточно, чтобы их произведение было отрицательным. Согласно теореме Виета, для данного уравнения произведение корней $x_1 \cdot x_2 = c$. Условие $x_1 \cdot x_2 < 0$ сводится к неравенству $c < 0$. Отметим, что если $c < 0$, то условие $D > 0$ (т.е. $144 - 4c > 0$) выполняется автоматически, что гарантирует наличие двух различных корней.

Ответ: уравнение имеет два корня при $c < 36$; имеет два корня разных знаков при $c < 0$.

б) $x^2 + cx - 4 = 0$

Рассмотрим уравнение $x^2 + cx - 4 = 0$. Его дискриминант $D = c^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = c^2 + 16$. Так как $c^2 \ge 0$ для любого действительного $c$, то $c^2 + 16 \ge 16$, а значит $D$ всегда строго больше нуля. Следовательно, уравнение всегда имеет два различных действительных корня при любом значении $c$.

Произведение корней по теореме Виета равно $x_1 \cdot x_2 = -4/1 = -4$. Так как произведение корней отрицательно ($-4 < 0$) при любом $c$, то корни всегда имеют разные знаки.

Ответ: уравнение имеет два корня при любом действительном значении $c$; имеет два корня разных знаков при любом действительном значении $c$.

в) $2x^2 + cx + 2 = 0$

Для уравнения $2x^2 + cx + 2 = 0$ найдем дискриминант: $D = c^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = c^2 - 16$. Уравнение имеет два различных корня, если $D > 0$. Решим неравенство $c^2 - 16 > 0$, или $c^2 > 16$. Решением является $|c| > 4$, то есть $c \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty)$.

Найдем произведение корней по теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = 2/2 = 1$. Так как произведение корней положительно ($1 > 0$), то если действительные корни существуют, они всегда одного знака. Условие того, что корни имеют разные знаки ($x_1 \cdot x_2 < 0$), никогда не выполняется.

Ответ: уравнение имеет два корня при $c \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty)$; не существует значений $c$, при которых уравнение имеет два корня разных знаков.