Страница 122 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Решите уравнение с переменной $x$:

a) $(m - 1)x = m^2 - 1;$

б) $(c - 2)x = c + 2;$

в) $(2 - a)x = a^2 - 4;$

г) $(b^2 - 1)x = b + 1.$

а)

Дано уравнение $(m - 1)x = m^2 - 1$. Это линейное уравнение относительно $x$ с параметром $m$. Решение зависит от значения коэффициента при $x$.

1. Рассмотрим случай, когда коэффициент при $x$ не равен нулю: $m - 1 \neq 0$, то есть $m \neq 1$.

В этом случае можно разделить обе части уравнения на $m - 1$:

$x = \frac{m^2 - 1}{m - 1}$

Применим формулу разности квадратов к числителю: $m^2 - 1 = (m - 1)(m + 1)$.

$x = \frac{(m - 1)(m + 1)}{m - 1}$

Так как $m \neq 1$, мы можем сократить дробь на $(m - 1)$:

$x = m + 1$

2. Рассмотрим случай, когда коэффициент при $x$ равен нулю: $m - 1 = 0$, то есть $m = 1$.

Подставим $m = 1$ в исходное уравнение:

$(1 - 1)x = 1^2 - 1$

$0 \cdot x = 0$

Это равенство верно для любого значения $x$. Следовательно, $x$ — любое число.

Ответ: если $m \neq 1$, то $x = m + 1$; если $m = 1$, то $x$ — любое число.

б)

Дано уравнение $(c - 2)x = c + 2$. Это линейное уравнение относительно $x$ с параметром $c$.

1. Рассмотрим случай, когда коэффициент при $x$ не равен нулю: $c - 2 \neq 0$, то есть $c \neq 2$.

В этом случае делим обе части уравнения на $c - 2$:

$x = \frac{c + 2}{c - 2}$

Это выражение является решением уравнения.

2. Рассмотрим случай, когда коэффициент при $x$ равен нулю: $c - 2 = 0$, то есть $c = 2$.

Подставим $c = 2$ в исходное уравнение:

$(2 - 2)x = 2 + 2$

$0 \cdot x = 4$

Это равенство неверно ни при каком значении $x$, так как $0 \neq 4$. Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: если $c \neq 2$, то $x = \frac{c + 2}{c - 2}$; если $c = 2$, то корней нет.

в)

Дано уравнение $(2 - a)x = a^2 - 4$. Это линейное уравнение относительно $x$ с параметром $a$.

1. Рассмотрим случай, когда коэффициент при $x$ не равен нулю: $2 - a \neq 0$, то есть $a \neq 2$.

Разделим обе части уравнения на $2 - a$:

$x = \frac{a^2 - 4}{2 - a}$

Разложим числитель по формуле разности квадратов: $a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$.

$x = \frac{(a - 2)(a + 2)}{2 - a}$

Заметим, что $2 - a = -(a - 2)$.

$x = \frac{(a - 2)(a + 2)}{-(a - 2)}$

Так как $a \neq 2$, мы можем сократить дробь на $(a - 2)$:

$x = \frac{a + 2}{-1} = -(a + 2)$

2. Рассмотрим случай, когда коэффициент при $x$ равен нулю: $2 - a = 0$, то есть $a = 2$.

Подставим $a = 2$ в исходное уравнение:

$(2 - 2)x = 2^2 - 4$

$0 \cdot x = 4 - 4$

$0 \cdot x = 0$

Это равенство верно для любого значения $x$. Следовательно, $x$ — любое число.

Ответ: если $a \neq 2$, то $x = -(a + 2)$; если $a = 2$, то $x$ — любое число.

г)

Дано уравнение $(b^2 - 1)x = b + 1$. Это линейное уравнение относительно $x$ с параметром $b$.

Разложим коэффициент при $x$ на множители: $b^2 - 1 = (b - 1)(b + 1)$.

Уравнение принимает вид: $(b - 1)(b + 1)x = b + 1$.

1. Рассмотрим случай, когда коэффициент при $x$ не равен нулю: $b^2 - 1 \neq 0$, то есть $b \neq 1$ и $b \neq -1$.

В этом случае делим обе части уравнения на $b^2 - 1$:

$x = \frac{b + 1}{b^2 - 1} = \frac{b + 1}{(b - 1)(b + 1)}$

Так как $b \neq -1$, мы можем сократить дробь на $(b + 1)$:

$x = \frac{1}{b - 1}$

2. Рассмотрим случай, когда коэффициент при $x$ равен нулю: $b^2 - 1 = 0$. Это происходит при $b = 1$ или $b = -1$.

а) Если $b = 1$, подставим это значение в исходное уравнение:

$(1^2 - 1)x = 1 + 1$

$0 \cdot x = 2$

Это равенство неверно ни при каком $x$. Уравнение не имеет корней.

б) Если $b = -1$, подставим это значение в исходное уравнение:

$((-1)^2 - 1)x = -1 + 1$

$(1 - 1)x = 0$

$0 \cdot x = 0$

Это равенство верно для любого значения $x$. Следовательно, $x$ — любое число.

Ответ: если $b \neq 1$ и $b \neq -1$, то $x = \frac{1}{b - 1}$; если $b = 1$, то корней нет; если $b = -1$, то $x$ — любое число.

2 Выясните, при каких значениях параметра a уравнение имеет два корня:

а) $ax^2 - (a + 1)x + 1 = 0;$

б) $ax^2 - (a^2 + 4)x + 4a = 0.$

а) $ax^2 - (a + 1)x + 1 = 0$

Чтобы уравнение имело два различных корня, оно должно быть квадратным (коэффициент при $x^2$ не равен нулю) и его дискриминант должен быть строго больше нуля.

1. Рассмотрим случай, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $a = 0$.
Уравнение принимает вид: $-(0 + 1)x + 1 = 0$, что упрощается до $-x + 1 = 0$.
Это линейное уравнение, которое имеет один корень $x = 1$. Следовательно, $a = 0$ не является решением задачи.

2. Теперь рассмотрим случай, когда $a \neq 0$. В этом случае уравнение является квадратным.
Найдем его дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$.
Здесь коэффициенты: $A=a$, $B=-(a+1)$, $C=1$.
$D = (-(a + 1))^2 - 4 \cdot a \cdot 1 = (a + 1)^2 - 4a = a^2 + 2a + 1 - 4a = a^2 - 2a + 1$.
Заметим, что полученное выражение является полным квадратом: $D = (a - 1)^2$.

Уравнение имеет два различных корня, если $D > 0$.
$(a - 1)^2 > 0$.
Квадрат любого действительного числа неотрицателен. Он равен нулю только тогда, когда само число равно нулю. Таким образом, неравенство выполняется для всех $a$, кроме $a - 1 = 0$, то есть $a \neq 1$.

Объединяем условия: уравнение должно быть квадратным ($a \neq 0$) и иметь положительный дискриминант ($a \neq 1$).

Ответ: $a \in (-\infty; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty)$.

б) $ax^2 - (a^2 + 4)x + 4a = 0$

Аналогично предыдущему пункту, уравнение должно быть квадратным ($a \neq 0$) и его дискриминант должен быть положительным ($D > 0$).

1. Если $a = 0$, уравнение становится линейным:
$-(0^2 + 4)x + 4 \cdot 0 = 0 \implies -4x = 0$.
Это уравнение имеет единственный корень $x = 0$. Таким образом, $a = 0$ не подходит.

2. Если $a \neq 0$, уравнение является квадратным.
Найдем его дискриминант $D$. Коэффициенты: $A=a$, $B=-(a^2+4)$, $C=4a$.
$D = (-(a^2 + 4))^2 - 4 \cdot a \cdot (4a) = (a^2 + 4)^2 - 16a^2$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$D = (a^4 + 8a^2 + 16) - 16a^2 = a^4 - 8a^2 + 16$.
Это выражение также является полным квадратом: $D = (a^2 - 4)^2$.

Условие наличия двух различных корней — $D > 0$.
$(a^2 - 4)^2 > 0$.
Неравенство выполняется, когда выражение в основании степени не равно нулю:
$a^2 - 4 \neq 0$.
$a^2 \neq 4$.
Это означает, что $a \neq 2$ и $a \neq -2$.

Собираем все условия вместе: $a \neq 0$, $a \neq 2$ и $a \neq -2$.

Ответ: $a \in (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$.

Докажите, что при любых значениях $a$ уравнение имеет хотя бы один корень:

a) $x^2 - 5ax + 6a^2 = 0$;

б) $(x + a)(x - a) = 1 - 2a$.

а) $x^2 - 5ax + 6a^2 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно переменной $x$. Чтобы доказать, что оно имеет хотя бы один корень при любых значениях параметра $a$, достаточно доказать, что его дискриминант $D$ неотрицателен, то есть $D \ge 0$.

Коэффициенты квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$ в данном случае равны: $A = 1$, $B = -5a$, $C = 6a^2$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = B^2 - 4AC$:
$D = (-5a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6a^2) = 25a^2 - 24a^2 = a^2$.

Выражение $a^2$ представляет собой квадрат действительного числа $a$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $a^2 \ge 0$ при любом значении $a$.

Поскольку дискриминант $D = a^2 \ge 0$ при любых значениях $a$, уравнение всегда имеет хотя бы один действительный корень.

Ответ: Дискриминант уравнения равен $D=a^2$, а так как $a^2 \ge 0$ для любого $a$, то уравнение всегда имеет хотя бы один корень.

б) $(x + a)(x - a) = 1 - 2a$

Сначала преобразуем данное уравнение к стандартному виду квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$.

В левой части уравнения используем формулу разности квадратов: $(x + a)(x - a) = x^2 - a^2$.
Уравнение принимает вид: $x^2 - a^2 = 1 - 2a$.

Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - a^2 - 1 + 2a = 0$
$x^2 - (a^2 - 2a + 1) = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $x$. Его коэффициенты: $A = 1$, $B = 0$, $C = -(a^2 - 2a + 1)$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = B^2 - 4AC$:
$D = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(a^2 - 2a + 1))$
$D = 4(a^2 - 2a + 1)$.

Выражение в скобках является полным квадратом: $a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$.
Тогда дискриминант равен: $D = 4(a - 1)^2$.

Выражение $(a-1)^2$ всегда неотрицательно, так как это квадрат действительного числа: $(a-1)^2 \ge 0$. Умножение на положительное число 4 не меняет знак неравенства, поэтому $D = 4(a - 1)^2 \ge 0$ при любом значении $a$.

Поскольку дискриминант $D \ge 0$ при любых значениях $a$, уравнение всегда имеет хотя бы один действительный корень.

Ответ: Дискриминант уравнения равен $D=4(a-1)^2$, а так как $4(a-1)^2 \ge 0$ для любого $a$, то уравнение всегда имеет хотя бы один корень.

4 При каких значениях параметра c данное уравнение имеет два корня; имеет два корня разных знаков:

a) $x^2 - 12x + c = 0$;

б) $x^2 + cx - 4 = 0$;

в) $2x^2 + cx + 2 = 0?$

а) $x^2 - 12x + c = 0$

Чтобы данное квадратное уравнение имело два различных корня, его дискриминант $D$ должен быть строго положительным. Для уравнения $x^2 - 12x + c = 0$ дискриминант равен $D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot c = 144 - 4c$. Решим неравенство $D > 0$: $144 - 4c > 0$, что равносильно $4c < 144$, и, следовательно, $c < 36$.

Чтобы уравнение имело два корня разных знаков, необходимо и достаточно, чтобы их произведение было отрицательным. Согласно теореме Виета, для данного уравнения произведение корней $x_1 \cdot x_2 = c$. Условие $x_1 \cdot x_2 < 0$ сводится к неравенству $c < 0$. Отметим, что если $c < 0$, то условие $D > 0$ (т.е. $144 - 4c > 0$) выполняется автоматически, что гарантирует наличие двух различных корней.

Ответ: уравнение имеет два корня при $c < 36$; имеет два корня разных знаков при $c < 0$.

б) $x^2 + cx - 4 = 0$

Рассмотрим уравнение $x^2 + cx - 4 = 0$. Его дискриминант $D = c^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = c^2 + 16$. Так как $c^2 \ge 0$ для любого действительного $c$, то $c^2 + 16 \ge 16$, а значит $D$ всегда строго больше нуля. Следовательно, уравнение всегда имеет два различных действительных корня при любом значении $c$.

Произведение корней по теореме Виета равно $x_1 \cdot x_2 = -4/1 = -4$. Так как произведение корней отрицательно ($-4 < 0$) при любом $c$, то корни всегда имеют разные знаки.

Ответ: уравнение имеет два корня при любом действительном значении $c$; имеет два корня разных знаков при любом действительном значении $c$.

в) $2x^2 + cx + 2 = 0$

Для уравнения $2x^2 + cx + 2 = 0$ найдем дискриминант: $D = c^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = c^2 - 16$. Уравнение имеет два различных корня, если $D > 0$. Решим неравенство $c^2 - 16 > 0$, или $c^2 > 16$. Решением является $|c| > 4$, то есть $c \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty)$.

Найдем произведение корней по теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = 2/2 = 1$. Так как произведение корней положительно ($1 > 0$), то если действительные корни существуют, они всегда одного знака. Условие того, что корни имеют разные знаки ($x_1 \cdot x_2 < 0$), никогда не выполняется.

Ответ: уравнение имеет два корня при $c \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty)$; не существует значений $c$, при которых уравнение имеет два корня разных знаков.

5 С помощью графиков выясните, сколько корней может иметь уравнение, в котором $a$ — параметр:

a) $ |x| = ax - 1 $;
б) $ |x| = ax + 2 $.

Пример 3. Выясним, при каких значениях параметра $a$ система уравнений
$ \begin{cases} x - y = a, \\ x^2 + y^2 = 8 \end{cases} $
, имеет единственное решение, и найдём это решение.

Такие системы мы решаем способом подстановки, поступим так же и в этом случае.

Для решения задачи представим каждое уравнение в виде равенства двух функций $f(x) = g(x)$ и проанализируем количество точек пересечения их графиков. В обоих случаях левая часть уравнения — это функция $y = |x|$, график которой представляет собой две прямые $y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x < 0$, с вершиной в точке $(0, 0)$. Правая часть — это семейство прямых $y = ax+b$. Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения этих графиков.

а) $|x| = ax - 1$

Рассмотрим графики функций $y = |x|$ и $y = ax - 1$.

График функции $y = ax - 1$ — это семейство прямых (пучок прямых), которые проходят через точку $(0, -1)$, так как при $x=0$ значение $y$ равно $-1$ для любого значения параметра $a$. Эта точка находится ниже оси абсцисс.

Проанализируем взаимное расположение графиков в зависимости от углового коэффициента $a$.

1. Рассмотрим пересечение прямой $y=ax-1$ с правой ветвью графика $y=|x|$, то есть с лучом $y=x$ при $x \ge 0$.

   $x = ax - 1 \implies (1-a)x = -1$.

   Если $a=1$, то получаем $0 \cdot x = -1$, что не имеет решений. Прямая $y=x-1$ параллельна прямой $y=x$ и не пересекает ее.

   Если $a \ne 1$, то $x = \frac{-1}{1-a} = \frac{1}{a-1}$. Корень существует на данной ветви, если $x \ge 0$, что выполняется при $a-1 > 0$, то есть при $a > 1$.

2. Рассмотрим пересечение прямой $y=ax-1$ с левой ветвью графика $y=|x|$, то есть с лучом $y=-x$ при $x < 0$.

   $-x = ax - 1 \implies 1 = (a+1)x$.

   Если $a=-1$, то получаем $1 = 0 \cdot x$, что не имеет решений. Прямая $y=-x-1$ параллельна прямой $y=-x$ и не пересекает ее.

   Если $a \ne -1$, то $x = \frac{1}{a+1}$. Корень существует на данной ветви, если $x < 0$, что выполняется при $a+1 < 0$, то есть при $a < -1$.

Теперь объединим результаты:

• Если $a > 1$, есть одно пересечение с правой ветвью и нет пересечений с левой. Итого: 1 корень.
• Если $a < -1$, есть одно пересечение с левой ветвью и нет пересечений с правой. Итого: 1 корень.
• Если $-1 \le a \le 1$, пересечений нет ни с одной из ветвей. Итого: 0 корней.

Таким образом, уравнение может иметь 0 или 1 корень.

Ответ: 0 или 1.

б) $|x| = ax + 2$

Рассмотрим графики функций $y = |x|$ и $y = ax + 2$.

График функции $y = ax + 2$ — это семейство прямых, проходящих через точку $(0, 2)$. Эта точка находится на оси ординат выше вершины графика $y=|x|$.

Проанализируем взаимное расположение графиков.

1. Пересечение с правой ветвью ($y=x$ при $x \ge 0$):

   $x = ax + 2 \implies (1-a)x = 2$.

   Если $a=1$, решений нет (прямые параллельны).

   Если $a \ne 1$, то $x = \frac{2}{1-a}$. Корень существует, если $x \ge 0$, что выполняется при $1-a > 0$, то есть при $a < 1$.

2. Пересечение с левой ветвью ($y=-x$ при $x < 0$):

   $-x = ax + 2 \implies -(a+1)x = 2$.

   Если $a=-1$, решений нет (прямые параллельны).

   Если $a \ne -1$, то $x = \frac{-2}{a+1}$. Корень существует, если $x < 0$, что выполняется при $a+1 > 0$, то есть при $a > -1$.

Объединим результаты:

• Если $a > 1$: пересечения с правой ветвью нет ($a \not< 1$), но есть с левой ($a > -1$). Итого: 1 корень.
• Если $a = 1$: пересечения с правой ветвью нет (параллельны), но есть с левой ($a > -1$). Итого: 1 корень.
• Если $-1 < a < 1$: есть пересечение с правой ветвью ($a < 1$) и с левой ($a > -1$). Итого: 2 корня.
• Если $a = -1$: есть пересечение с правой ветвью ($a < 1$), но нет с левой (параллельны). Итого: 1 корень.
• Если $a < -1$: есть пересечение с правой ветвью ($a < 1$), но нет с левой ($a \not> -1$). Итого: 1 корень.

Таким образом, при $|a| \ge 1$ уравнение имеет 1 корень, а при $|a| < 1$ — 2 корня. Следовательно, уравнение может иметь 1 или 2 корня.

Ответ: 1 или 2.