Страница 125 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

7 a) $x^3 + 2x^2 = 0$

б) $x^4 - 6x^2 + 8 = 0$

a) Решим уравнение $x^3 + 2x^2 = 0$.

Это неполное кубическое уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы имеем два случая:

1) $x^2 = 0$, откуда получаем корень $x_1 = 0$.

2) $x + 2 = 0$, откуда получаем корень $x_2 = -2$.

Таким образом, уравнение имеет два различных корня.

Ответ: $0; -2$.

б) Решим уравнение $x^4 - 6x^2 + 8 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Оно решается с помощью введения новой переменной. Пусть $t = x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то и $t \ge 0$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение. Так как $x^4 = (x^2)^2 = t^2$, получим следующее квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 - 6t + 8 = 0$

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна коэффициенту при $t$, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

$t_1 + t_2 = 6$

$t_1 \cdot t_2 = 8$

Методом подбора находим корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = 4$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1) Если $t = 2$, то $x^2 = 2$. Отсюда $x_{1,2} = \pm\sqrt{2}$.

2) Если $t = 4$, то $x^2 = 4$. Отсюда $x_{3,4} = \pm\sqrt{4} = \pm 2$.

В итоге мы получили четыре корня.

Ответ: $\pm 2; \pm\sqrt{2}$.

8 a) $\frac{3}{x+2} - 5 = \frac{4}{x-2}$;

б) $\frac{x-3}{x} + \frac{7}{x+3} = \frac{5}{4}$;

B) $x + \frac{4}{x} = 4$;

Г) $\frac{x^2 - 7x - 8}{x+1} = 0$;

Д) $\frac{x}{x-2} = \frac{10}{x+1}$;

e) $\frac{1-x}{2-x} = 2$.

а) $\frac{3}{x+2} - 5 = \frac{4}{x-2}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x+2 \neq 0$ и $x-2 \neq 0$, следовательно, $x \neq -2$ и $x \neq 2$.

Приведем все члены уравнения к общему знаменателю $(x+2)(x-2) = x^2-4$:

$\frac{3(x-2)}{(x+2)(x-2)} - \frac{5(x+2)(x-2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{4(x+2)}{(x+2)(x-2)}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x+2)(x-2)$, так как в ОДЗ он не равен нулю:

$3(x-2) - 5(x^2-4) = 4(x+2)$

Раскроем скобки:

$3x - 6 - 5x^2 + 20 = 4x + 8$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все в левую часть:

$-5x^2 + 3x + 14 - 4x - 8 = 0$

$-5x^2 - x + 6 = 0$

Умножим уравнение на -1, чтобы сделать старший коэффициент положительным:

$5x^2 + x - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 1 + 120 = 121 = 11^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_1 = \frac{-1 + 11}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$

$x_2 = \frac{-1 - 11}{2 \cdot 5} = \frac{-12}{10} = -1.2$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm 2$).

Ответ: $1; -1.2$.

б) $\frac{x-3}{x} + \frac{7}{x+3} = \frac{5}{4}$

ОДЗ: $x \neq 0$ и $x+3 \neq 0$, следовательно, $x \neq 0$ и $x \neq -3$.

Общий знаменатель: $4x(x+3)$. Умножим обе части уравнения на него:

$4(x+3)(x-3) + 7 \cdot 4x = 5x(x+3)$

Раскроем скобки и упростим:

$4(x^2 - 9) + 28x = 5x^2 + 15x$

$4x^2 - 36 + 28x = 5x^2 + 15x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$5x^2 - 4x^2 + 15x - 28x + 36 = 0$

$x^2 - 13x + 36 = 0$

Решим уравнение с помощью теоремы Виета. Ищем два числа, сумма которых равна 13, а произведение равно 36. Это числа 4 и 9.

$x_1 = 4$, $x_2 = 9$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0, x \neq -3$).

Ответ: $4; 9$.

в) $x + \frac{4}{x} = 4$

ОДЗ: $x \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на $x$:

$x \cdot x + \frac{4}{x} \cdot x = 4 \cdot x$

$x^2 + 4 = 4x$

Перенесем все в левую часть:

$x^2 - 4x + 4 = 0$

Это формула полного квадрата разности: $(x-2)^2 = 0$.

Отсюда $x-2 = 0$, следовательно, $x=2$.

Корень $x=2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $2$.

г) $\frac{x^2 - 7x - 8}{x+1} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Приравняем числитель к нулю:

$x^2 - 7x - 8 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно -8. Корни: $x_1 = 8$ и $x_2 = -1$.

2. Проверим, чтобы знаменатель не был равен нулю:

$x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$

Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним.

Корень $x_1 = 8$ удовлетворяет условию $x \neq -1$.

Следовательно, решением уравнения является только $x=8$.

Ответ: $8$.

д) $\frac{x}{x-2} = \frac{10}{x+1}$

ОДЗ: $x-2 \neq 0$ и $x+1 \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$ и $x \neq -1$.

Используем основное свойство пропорции (перекрестное умножение):

$x(x+1) = 10(x-2)$

Раскроем скобки:

$x^2 + x = 10x - 20$

Перенесем все в левую часть:

$x^2 + x - 10x + 20 = 0$

$x^2 - 9x + 20 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 9, а произведение равно 20. Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = 5$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 2, x \neq -1$).

Ответ: $4; 5$.

е) $\frac{1-x}{2-x} = 2$

ОДЗ: $2-x \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$.

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(2-x)$:

$1-x = 2(2-x)$

Раскроем скобки:

$1-x = 4 - 2x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа - в правую:

$-x + 2x = 4 - 1$

$x = 3$

Корень $x=3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $3$.

9 Решите задачу:

а) Лодка за одно и то же время может проплыть по течению реки 45 км, а против течения — 27 км. Скорость течения реки 3 км/ч. С какой скоростью плывёт лодка в стоячей воде?

б) Велосипедист проехал 4 км по участку шоссе, на котором шёл ремонт, и 6 км — по уже отремонтированному участку. Его скорость на первом участке была на 4 км/ч меньше, чем на втором. На весь путь он затратил 1 ч. С какой скоростью ехал велосипедист на каждом участке?

а)

Пусть $v$ км/ч — собственная скорость лодки, то есть её скорость в стоячей воде.
Скорость течения реки составляет 3 км/ч.
Тогда скорость лодки по течению реки равна $(v + 3)$ км/ч, а скорость лодки против течения реки равна $(v - 3)$ км/ч.
Время, которое лодка плыла по течению, можно найти по формуле $t = S/v$. Оно составляет $t_1 = \frac{45}{v+3}$ часа.
Время, которое лодка плыла против течения, составляет $t_2 = \frac{27}{v-3}$ часа.
По условию задачи, время движения по течению и против течения одинаково ($t_1 = t_2$). Составим и решим уравнение:

$\frac{45}{v+3} = \frac{27}{v-3}$

Используя основное свойство пропорции, получим:
$45 \cdot (v - 3) = 27 \cdot (v + 3)$
Раскроем скобки:
$45v - 135 = 27v + 81$
Перенесём слагаемые с переменной $v$ в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую:
$45v - 27v = 81 + 135$
$18v = 216$
$v = \frac{216}{18}$
$v = 12$

Следовательно, скорость лодки в стоячей воде составляет 12 км/ч.
Ответ: 12 км/ч.

б)

Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста на первом участке (на котором шёл ремонт).
По условию, его скорость на втором участке была на 4 км/ч больше, значит, она составляла $(x + 4)$ км/ч.
Время, затраченное на первый участок, равно $t_1 = \frac{4}{x}$ ч.
Время, затраченное на второй участок, равно $t_2 = \frac{6}{x+4}$ ч.
Общее время на весь путь составило 1 час, поэтому $t_1 + t_2 = 1$.
Составим и решим уравнение:

$\frac{4}{x} + \frac{6}{x+4} = 1$

Приведём дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+4)$:
$\frac{4(x+4) + 6x}{x(x+4)} = 1$
$\frac{4x + 16 + 6x}{x^2 + 4x} = 1$
$\frac{10x + 16}{x^2 + 4x} = 1$
При условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -4$, мы можем умножить обе части на знаменатель:
$10x + 16 = x^2 + 4x$
Перенесём все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 4x - 10x - 16 = 0$
$x^2 - 6x - 16 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$.
Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{100}}{2} = \frac{6 + 10}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{100}}{2} = \frac{6 - 10}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -2$ не является решением задачи.

Таким образом, скорость велосипедиста на первом участке (где шёл ремонт) равна 8 км/ч.
Скорость на втором, отремонтированном, участке равна $x + 4 = 8 + 4 = 12$ км/ч.
Ответ: 8 км/ч на участке, где шёл ремонт, и 12 км/ч на отремонтированном участке.