Страница 131 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

338 Запишите первые несколько членов:

а) последовательности чисел, кратных 3;

Первые несколько членов: $3, 6, 9, 12, \dots$

10-й член: $a_{10} = 3 \cdot 10 = 30$

45-й член: $a_{45} = 3 \cdot 45 = 135$

n-й член: $a_n = 3n$

б) последовательности чисел, противоположных членам натурального ряда;

Первые несколько членов: $-1, -2, -3, -4, \dots$

10-й член: $a_{10} = -10$

45-й член: $a_{45} = -45$

n-й член: $a_n = -n$

в) последовательности чисел, обратных членам натурального ряда;

Первые несколько членов: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$

10-й член: $a_{10} = \frac{1}{10}$

45-й член: $a_{45} = \frac{1}{45}$

n-й член: $a_n = \frac{1}{n}$

г) последовательности кубов натуральных чисел;

Первые несколько членов: $1, 8, 27, 64, \dots$

10-й член: $a_{10} = 10^3 = 1000$

45-й член: $a_{45} = 45^3 = 91125$

n-й член: $a_n = n^3$

д) последовательности степеней числа 2 с натуральными показателями;

Первые несколько членов: $2, 4, 8, 16, \dots$

10-й член: $a_{10} = 2^{10} = 1024$

45-й член: $a_{45} = 2^{45}$

n-й член: $a_n = 2^n$

е) последовательности правильных дробей, у которых знаменатель на 1 больше числителя.

Первые несколько членов: $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \dots$

10-й член: $a_{10} = \frac{10}{11}$

45-й член: $a_{45} = \frac{45}{46}$

n-й член: $a_n = \frac{n}{n+1}$

В каждом случае укажите число, которое стоит в последовательности на 10-м месте, на 45-м месте, на n-м месте.

а) последовательности чисел, кратных 3;

Последовательность чисел, кратных 3, состоит из чисел, которые являются результатом умножения натуральных чисел (1, 2, 3, ...) на 3.

Первые несколько членов этой последовательности: $3 \cdot 1 = 3$, $3 \cdot 2 = 6$, $3 \cdot 3 = 9$, $3 \cdot 4 = 12$, ...

Формула n-го члена этой последовательности, обозначим его $a_n$, имеет вид $a_n = 3n$.

• Число на 10-м месте: $a_{10} = 3 \cdot 10 = 30$.
• Число на 45-м месте: $a_{45} = 3 \cdot 45 = 135$.
• Число на n-м месте: $a_n = 3n$.

Ответ: Первые члены: 3, 6, 9, 12, ...; число на 10-м месте: 30; число на 45-м месте: 135; число на n-м месте: $3n$.

б) последовательности чисел, противоположных членам натурального ряда;

Натуральный ряд чисел — это последовательность 1, 2, 3, 4, ... Противоположные им числа имеют тот же модуль, но обратный знак.

Первые несколько членов этой последовательности: -1, -2, -3, -4, ...

Формула n-го члена этой последовательности, обозначим его $b_n$, имеет вид $b_n = -n$.

• Число на 10-м месте: $b_{10} = -10$.
• Число на 45-м месте: $b_{45} = -45$.
• Число на n-м месте: $b_n = -n$.

Ответ: Первые члены: -1, -2, -3, -4, ...; число на 10-м месте: -10; число на 45-м месте: -45; число на n-м месте: $-n$.

в) последовательности чисел, обратных членам натурального ряда;

Натуральный ряд чисел — это 1, 2, 3, 4, ... Обратное число для $x$ — это $\frac{1}{x}$.

Первые несколько членов этой последовательности: $\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, ...$, то есть $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, ...$

Формула n-го члена этой последовательности, обозначим его $c_n$, имеет вид $c_n = \frac{1}{n}$.

• Число на 10-м месте: $c_{10} = \frac{1}{10}$.
• Число на 45-м месте: $c_{45} = \frac{1}{45}$.
• Число на n-м месте: $c_n = \frac{1}{n}$.

Ответ: Первые члены: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, ...$; число на 10-м месте: $\frac{1}{10}$; число на 45-м месте: $\frac{1}{45}$; число на n-м месте: $\frac{1}{n}$.

г) последовательности кубов натуральных чисел;

Эта последовательность состоит из чисел, полученных возведением натуральных чисел в третью степень.

Первые несколько членов: $1^3=1$, $2^3=8$, $3^3=27$, $4^3=64$, ...

Формула n-го члена этой последовательности, обозначим его $d_n$, имеет вид $d_n = n^3$.

• Число на 10-м месте: $d_{10} = 10^3 = 1000$.
• Число на 45-м месте: $d_{45} = 45^3 = 45 \cdot 45 \cdot 45 = 91125$.
• Число на n-м месте: $d_n = n^3$.

Ответ: Первые члены: 1, 8, 27, 64, ...; число на 10-м месте: 1000; число на 45-м месте: 91125; число на n-м месте: $n^3$.

д) последовательности степеней числа 2 с натуральными показателями;

Эта последовательность состоит из степеней числа 2, где показатели — натуральные числа (1, 2, 3, ...).

Первые несколько членов: $2^1=2$, $2^2=4$, $2^3=8$, $2^4=16$, ...

Формула n-го члена этой последовательности, обозначим его $e_n$, имеет вид $e_n = 2^n$.

• Число на 10-м месте: $e_{10} = 2^{10} = 1024$.
• Число на 45-м месте: $e_{45} = 2^{45}$.
• Число на n-м месте: $e_n = 2^n$.

Ответ: Первые члены: 2, 4, 8, 16, ...; число на 10-м месте: 1024; число на 45-м месте: $2^{45}$; число на n-м месте: $2^n$.

е) последовательности правильных дробей, у которых знаменатель на 1 больше числителя.

Правильная дробь — та, у которой числитель меньше знаменателя. В этой последовательности для n-го члена числитель равен $n$, а знаменатель, будучи на 1 больше, равен $n+1$.

Первые несколько членов: $\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$, $\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$, $\frac{3}{3+1}=\frac{3}{4}$, ...

Формула n-го члена этой последовательности, обозначим его $f_n$, имеет вид $f_n = \frac{n}{n+1}$.

• Число на 10-м месте: $f_{10} = \frac{10}{10+1} = \frac{10}{11}$.
• Число на 45-м месте: $f_{45} = \frac{45}{45+1} = \frac{45}{46}$.
• Число на n-м месте: $f_n = \frac{n}{n+1}$.

Ответ: Первые члены: $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, ...$; число на 10-м месте: $\frac{10}{11}$; число на 45-м месте: $\frac{45}{46}$; число на n-м месте: $\frac{n}{n+1}$.

339 Запишите первые несколько членов указанной последовательности. Конечной или бесконечной она является? Если это конечная последовательность, назовите последнее содержащееся в ней число:

а) последовательность двузначных простых чисел;

б) последовательность простых чисел, больших 100;

в) последовательность правильных дробей со знаменателем 1000;

г) последовательность десятичных приближений по недостатку числа $ \sqrt{2} $.

а) последовательность двузначных простых чисел;

Двузначные простые числа – это простые числа в диапазоне от 10 до 99. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и самого себя. Первыми членами этой последовательности являются 11, 13, 17, 19, 23 и так далее.

Эта последовательность является конечной, поскольку количество двузначных чисел ограничено (числа от 10 до 99).

Чтобы найти последнее число в этой последовательности, необходимо найти самое большое простое число, которое меньше 100. Проверяя числа в порядке убывания от 99, мы находим, что число 97 является простым (оно не делится на 2, 3, 5, 7), а числа 99, 98 не являются простыми. Таким образом, 97 — последнее число в последовательности.

Ответ: первые члены: 11, 13, 17, 19, ...; последовательность конечная; последнее число: 97.

б) последовательность простых чисел, больших 100;

Эта последовательность состоит из простых чисел, которые идут после числа 100. Чтобы найти первые члены, мы должны проверять числа 101, 102, 103 и так далее на простоту. Первые несколько членов этой последовательности: 101, 103, 107, 109, 113, ... .

Эта последовательность является бесконечной. Согласно теореме Евклида, множество простых чисел бесконечно. Это означает, что для любого, сколь угодно большого простого числа, всегда можно найти следующее за ним простое число. Следовательно, у этой последовательности нет последнего члена.

Ответ: первые члены: 101, 103, 107, 109, ...; последовательность бесконечная.

в) последовательность правильных дробей со знаменателем 1000;

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. В данном случае знаменатель равен 1000. Числитель должен быть натуральным числом (целым и положительным), меньшим 1000. Таким образом, числитель может принимать значения от 1 до 999. Если упорядочить дроби по возрастанию числителя, то первые члены последовательности будут: $\frac{1}{1000}, \frac{2}{1000}, \frac{3}{1000}, \frac{4}{1000}, \dots$ .

Эта последовательность является конечной, так как количество возможных натуральных чисел для числителя, которые меньше 1000, конечно и равно 999.

Последним членом последовательности будет дробь с наибольшим возможным числителем, то есть 999.

Ответ: первые члены: $\frac{1}{1000}, \frac{2}{1000}, \frac{3}{1000}, \dots$; последовательность конечная; последнее число: $\frac{999}{1000}$.

г) последовательность десятичных приближений по недостатку числа $\sqrt{2}$.

Десятичное приближение по недостатку (или усечение) числа $\sqrt{2}$ — это последовательность чисел, получаемых путем отбрасывания всех цифр в десятичной записи $\sqrt{2}$ после определенного разряда. Десятичная запись числа $\sqrt{2}$ является бесконечной и непериодической, так как это иррациональное число: $\sqrt{2} \approx 1,41421356...$

Первые члены последовательности:

• Приближение с точностью до целых (0 знаков после запятой): 1
• Приближение с точностью до десятых (1 знак после запятой): 1,4
• Приближение с точностью до сотых (2 знака после запятой): 1,41
• Приближение с точностью до тысячных (3 знака после запятой): 1,414
• и так далее.

Таким образом, последовательность имеет вид: 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; ...

Эта последовательность является бесконечной. Поскольку десятичное представление числа $\sqrt{2}$ никогда не заканчивается, мы можем продолжать этот процесс бесконечно, каждый раз добавляя еще одну цифру и получая новый член последовательности. Следовательно, у этой последовательности нет последнего члена.

Ответ: первые члены: 1; 1,4; 1,41; 1,414; ...; последовательность бесконечная.

340 Какое число стоит на 10-м месте:

а) в последовательности остатков от деления на 4 членов натурального ряда;

б) в последовательности десятичных приближений по недостатку числа $ \frac{1}{7} $ с точностью до 0,1; 0,01; 0,001 и т.д.?

а) Последовательность остатков от деления членов натурального ряда (1, 2, 3, ...) на 4 формируется следующим образом:
Остаток от деления 1 на 4 равен 1.
Остаток от деления 2 на 4 равен 2.
Остаток от деления 3 на 4 равен 3.
Остаток от деления 4 на 4 равен 0.
Остаток от деления 5 на 4 равен 1.
Остаток от деления 6 на 4 равен 2.
И так далее.
Получаем последовательность: 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, ...
Эта последовательность является периодической, и ее период состоит из 4 чисел: (1, 2, 3, 0).
Чтобы найти, какое число стоит на 10-м месте, достаточно найти остаток от деления 10 на 4.
$10 \div 4 = 2$ (остаток 2).
Это означает, что 10-й член последовательности будет таким же, как и 2-й член, то есть 2.
Проверим, выписав первые 10 членов: 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2.
Десятый член последовательности действительно равен 2.
Ответ: 2

б) Сначала преобразуем дробь $ \frac{1}{7} $ в бесконечную десятичную дробь путем деления 1 на 7 в столбик:
$ \frac{1}{7} = 0,142857142857... = 0,(142857) $.
Последовательность десятичных приближений по недостатку с заданной точностью формируется путем отбрасывания всех знаков после указанного.
1-й член (с точностью до 0,1): 0,1
2-й член (с точностью до 0,01): 0,14
3-й член (с точностью до 0,001): 0,142
...
Нам нужно найти 10-й член этой последовательности. Он соответствует приближению по недостатку с точностью до $10^{-10}$, то есть нужно взять первые 10 цифр после запятой в десятичном представлении числа $ \frac{1}{7} $.
Десятичное представление: $ 0,1428571428... $
Отсчитываем 10 знаков после запятой: 0,1428571428.
Ответ: 0,1428571428

341 Пусть $(c_n)$ — последовательность правильных несократимых дробей со знаменателем 40.

1) Закончите равенства: $c_5 = \dots$, $c_8 = \dots$, $c_{10} = \dots$.

2) Укажите номер члена последовательности, равного $\frac{13}{40}$, $\frac{17}{40}$, $\frac{33}{40}$.

3) Найдите последний член этой последовательности и укажите его номер.

Последовательность $(c_n)$ состоит из правильных несократимых дробей со знаменателем 40, расположенных в порядке возрастания. Правильная дробь со знаменателем 40 имеет вид $\frac{m}{40}$, где $m$ - натуральное число и $1 \le m < 40$. Дробь является несократимой, если ее числитель и знаменатель взаимно просты, то есть их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. В данном случае, должно выполняться условие НОД($m, 40$) = 1.

Найдем простые множители знаменателя: $40 = 2^3 \cdot 5$. Следовательно, чтобы дробь была несократимой, числитель $m$ не должен делиться ни на 2, ни на 5. Выпишем все натуральные числа от 1 до 39, которые удовлетворяют этому условию, в порядке возрастания:

1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 39.

Это и есть числители дробей последовательности $(c_n)$. Всего таких чисел 16, что соответствует значению функции Эйлера $\phi(40) = 40(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{5}) = 16$. Таким образом, последовательность $(c_n)$ состоит из 16 членов. Сама последовательность выглядит так:

$c_1 = \frac{1}{40}, c_2 = \frac{3}{40}, c_3 = \frac{7}{40}, c_4 = \frac{9}{40}, c_5 = \frac{11}{40}, \dots$

1) Закончите равенства: $c_5 = ...$ , $c_8 = ...$ , $c_{10} = ...$ .

Для нахождения указанных членов последовательности обратимся к нашему списку числителей: 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 39.

• Пятый член списка - число 11. Следовательно, $c_5 = \frac{11}{40}$.
• Восьмой член списка - число 19. Следовательно, $c_8 = \frac{19}{40}$.
• Десятый член списка - число 23. Следовательно, $c_{10} = \frac{23}{40}$.

Ответ: $c_5 = \frac{11}{40}$, $c_8 = \frac{19}{40}$, $c_{10} = \frac{23}{40}$.

2) Укажите номер члена последовательности, равного $\frac{13}{40}, \frac{17}{40}, \frac{33}{40}$.

Чтобы найти номер члена последовательности, нужно определить позицию (порядковый номер) его числителя в упорядоченном списке числителей: 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 39.

• Числитель 13 стоит на 6-м месте в списке. Значит, дробь $\frac{13}{40}$ - это $c_6$.
• Числитель 17 стоит на 7-м месте в списке. Значит, дробь $\frac{17}{40}$ - это $c_7$.
• Числитель 33 стоит на 14-м месте в списке. Значит, дробь $\frac{33}{40}$ - это $c_{14}$.

Ответ: Дроби $\frac{13}{40}$, $\frac{17}{40}$ и $\frac{33}{40}$ являются 6-м, 7-м и 14-м членами последовательности соответственно.

3) Найдите последний член этой последовательности и укажите его номер.

Последний член последовательности соответствует самой большой правильной несократимой дроби со знаменателем 40. Это означает, что мы должны взять самый большой числитель из нашего списка: 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 39. Наибольший числитель - 39.

Таким образом, последний член последовательности - это дробь $\frac{39}{40}$.

Номер этого члена равен общему количеству членов в последовательности. Как мы уже определили, в списке 16 числителей, значит, и в последовательности 16 членов. Следовательно, последний член имеет номер 16.

Ответ: Последний член последовательности - $c_{16} = \frac{39}{40}$, его номер - 16.

342 Пусть $(x_n)$ — последовательность, в которой все члены с нечётными номерами равны $0$, а с чётными — $1$. Найдите $x_{12}$, $x_{25}$, $x_{133}$, $x_{998}$, $x_{2k}$, $x_{2k-1}$ ($k$ — натуральное число).

По условию задачи, дана последовательность $(x_n)$, для которой установлено правило: если номер члена $n$ — нечётное число, то $x_n = 0$; если номер члена $n$ — чётное число, то $x_n = 1$. Для нахождения значений указанных членов последовательности необходимо определить чётность их номеров (индексов).

$x_{12}$

Номер члена последовательности $n = 12$. Число 12 является чётным, так как оно делится на 2 без остатка ($12 \div 2 = 6$). Согласно правилу для членов с чётными номерами, значение этого члена равно 1.

Ответ: $x_{12} = 1$.

$x_{25}$

Номер члена последовательности $n = 25$. Число 25 является нечётным, так как при делении на 2 даёт остаток 1 ($25 = 2 \cdot 12 + 1$). Согласно правилу для членов с нечётными номерами, значение этого члена равно 0.

Ответ: $x_{25} = 0$.

$x_{133}$

Номер члена последовательности $n = 133$. Число 133 является нечётным, так как его последняя цифра (3) нечётная. Следовательно, значение этого члена равно 0.

Ответ: $x_{133} = 0$.

$x_{998}$

Номер члена последовательности $n = 998$. Число 998 является чётным, так как его последняя цифра (8) чётная. Следовательно, значение этого члена равно 1.

Ответ: $x_{998} = 1$.

$x_{2k}$

Номер члена последовательности $n = 2k$, где $k$ — натуральное число ($k \in \mathbb{N}$). По определению, любое число, являющееся произведением натурального числа на 2, является чётным. Следовательно, для любого натурального $k$ значение этого члена будет равно 1.

Ответ: $x_{2k} = 1$.

$x_{2k-1}$

Номер члена последовательности $n = 2k-1$, где $k$ — натуральное число ($k \in \mathbb{N}$). Число $2k$ является чётным, а число, которое на единицу меньше чётного, всегда является нечётным. Следовательно, для любого натурального $k$ значение этого члена будет равно 0.

Ответ: $x_{2k-1} = 0$.

343 Дана последовательность $(z_n)$. Какой член последовательности:

1) следует за $z_{20}$, $z_{199}$, $z_n$, $z_{n-1}$, $z_{n+3}$, $z_{2n}$;

2) предшествует $z_{80}$, $z_{201}$, $z_n$, $z_{n-1}$, $z_{n+3}$, $z_{2n}$?

Дана последовательность $(z_n)$, где $n$ – это номер (индекс) члена последовательности, который является натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$, то есть $n \ge 1$).
Член последовательности, следующий за членом $z_k$, имеет индекс на единицу больше, то есть $k+1$. Этот член обозначается как $z_{k+1}$.
Член последовательности, предшествующий члену $z_k$, имеет индекс на единицу меньше, то есть $k-1$. Этот член обозначается как $z_{k-1}$ и существует только при условии, что его индекс является натуральным числом ($k-1 \ge 1$, то есть $k > 1$).

1) следует за $z_{20}, z_{199}, z_n, z_{n-1}, z_{n+3}, z_{2n}$;

Чтобы найти член последовательности, который следует за указанным, мы должны увеличить его индекс на 1:
- за членом $z_{20}$ следует член с индексом $20+1=21$, то есть $z_{21}$;
- за членом $z_{199}$ следует член с индексом $199+1=200$, то есть $z_{200}$;
- за членом $z_n$ следует член с индексом $n+1$, то есть $z_{n+1}$;
- за членом $z_{n-1}$ следует член с индексом $(n-1)+1=n$, то есть $z_n$;
- за членом $z_{n+3}$ следует член с индексом $(n+3)+1=n+4$, то есть $z_{n+4}$;
- за членом $z_{2n}$ следует член с индексом $2n+1$, то есть $z_{2n+1}$.

Ответ: $z_{21}, z_{200}, z_{n+1}, z_n, z_{n+4}, z_{2n+1}$.

2) предшествует $z_{80}, z_{201}, z_n, z_{n-1}, z_{n+3}, z_{2n}$?

Чтобы найти член последовательности, который предшествует указанному, мы должны уменьшить его индекс на 1. При этом необходимо, чтобы полученный индекс оставался натуральным числом.
- члену $z_{80}$ предшествует член с индексом $80-1=79$, то есть $z_{79}$;
- члену $z_{201}$ предшествует член с индексом $201-1=200$, то есть $z_{200}$;
- члену $z_n$ предшествует член с индексом $n-1$, то есть $z_{n-1}$ (существует при $n > 1$);
- члену $z_{n-1}$ предшествует член с индексом $(n-1)-1=n-2$, то есть $z_{n-2}$ (существует при $n-1 > 1$, то есть $n > 2$);
- члену $z_{n+3}$ предшествует член с индексом $(n+3)-1=n+2$, то есть $z_{n+2}$;
- члену $z_{2n}$ предшествует член с индексом $2n-1$, то есть $z_{2n-1}$ (существует при $2n > 1$, что верно для любого натурального $n$).

Ответ: $z_{79}, z_{200}, z_{n-1}, z_{n-2}, z_{n+2}, z_{2n-1}$.

344 Сколько членов последовательности ($a_n$) содержится между двумя данными её членами? Выпишите подряд их все:

а) $a_{25}$; ...; $a_{32}$;

б) $a_n$; ...; $a_{n+4}$;

в) $a_{n-5}$; ...; $a_n$;

г) $a_{n-2}$; ...; $a_{n+3}$.

а) Между членами последовательности $a_{25}$ и $a_{32}$ находятся члены, номера которых больше 25 и меньше 32. Это номера 26, 27, 28, 29, 30, 31.
Количество этих членов равно $32 - 25 - 1 = 6$.
Список членов: $a_{26}, a_{27}, a_{28}, a_{29}, a_{30}, a_{31}$.
Ответ: 6 членов: $a_{26}, a_{27}, a_{28}, a_{29}, a_{30}, a_{31}$.

б) Между членами последовательности $a_n$ и $a_{n+4}$ находятся члены, номера которых больше $n$ и меньше $n+4$. Это номера $n+1, n+2, n+3$.
Количество этих членов равно $(n+4) - n - 1 = 3$.
Список членов: $a_{n+1}, a_{n+2}, a_{n+3}$.
Ответ: 3 члена: $a_{n+1}, a_{n+2}, a_{n+3}$.

в) Между членами последовательности $a_{n-5}$ и $a_n$ находятся члены, номера которых больше $n-5$ и меньше $n$. Это номера $n-4, n-3, n-2, n-1$.
Количество этих членов равно $n - (n-5) - 1 = n - n + 5 - 1 = 4$.
Список членов: $a_{n-4}, a_{n-3}, a_{n-2}, a_{n-1}$.
Ответ: 4 члена: $a_{n-4}, a_{n-3}, a_{n-2}, a_{n-1}$.

г) Между членами последовательности $a_{n-2}$ и $a_{n+3}$ находятся члены, номера которых больше $n-2$ и меньше $n+3$. Это номера $n-1, n, n+1, n+2$.
Количество этих членов равно $(n+3) - (n-2) - 1 = n + 3 - n + 2 - 1 = 4$.
Список членов: $a_{n-1}, a_n, a_{n+1}, a_{n+2}$.
Ответ: 4 члена: $a_{n-1}, a_n, a_{n+1}, a_{n+2}$.