Номер 338, страница 131 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.1 Числовые последовательности. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 338, страница 131.

338 Запишите первые несколько членов:

а) последовательности чисел, кратных 3;

Первые несколько членов: $3, 6, 9, 12, \dots$

10-й член: $a_{10} = 3 \cdot 10 = 30$

45-й член: $a_{45} = 3 \cdot 45 = 135$

n-й член: $a_n = 3n$

б) последовательности чисел, противоположных членам натурального ряда;

Первые несколько членов: $-1, -2, -3, -4, \dots$

10-й член: $a_{10} = -10$

45-й член: $a_{45} = -45$

n-й член: $a_n = -n$

в) последовательности чисел, обратных членам натурального ряда;

Первые несколько членов: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$

10-й член: $a_{10} = \frac{1}{10}$

45-й член: $a_{45} = \frac{1}{45}$

n-й член: $a_n = \frac{1}{n}$

г) последовательности кубов натуральных чисел;

Первые несколько членов: $1, 8, 27, 64, \dots$

10-й член: $a_{10} = 10^3 = 1000$

45-й член: $a_{45} = 45^3 = 91125$

n-й член: $a_n = n^3$

д) последовательности степеней числа 2 с натуральными показателями;

Первые несколько членов: $2, 4, 8, 16, \dots$

10-й член: $a_{10} = 2^{10} = 1024$

45-й член: $a_{45} = 2^{45}$

n-й член: $a_n = 2^n$

е) последовательности правильных дробей, у которых знаменатель на 1 больше числителя.

Первые несколько членов: $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \dots$

10-й член: $a_{10} = \frac{10}{11}$

45-й член: $a_{45} = \frac{45}{46}$

n-й член: $a_n = \frac{n}{n+1}$

В каждом случае укажите число, которое стоит в последовательности на 10-м месте, на 45-м месте, на n-м месте.

а) последовательности чисел, кратных 3;

Последовательность чисел, кратных 3, состоит из чисел, которые являются результатом умножения натуральных чисел (1, 2, 3, ...) на 3.

Первые несколько членов этой последовательности: $3 \cdot 1 = 3$, $3 \cdot 2 = 6$, $3 \cdot 3 = 9$, $3 \cdot 4 = 12$, ...

Формула n-го члена этой последовательности, обозначим его $a_n$, имеет вид $a_n = 3n$.

• Число на 10-м месте: $a_{10} = 3 \cdot 10 = 30$.
• Число на 45-м месте: $a_{45} = 3 \cdot 45 = 135$.
• Число на n-м месте: $a_n = 3n$.

Ответ: Первые члены: 3, 6, 9, 12, ...; число на 10-м месте: 30; число на 45-м месте: 135; число на n-м месте: $3n$.

б) последовательности чисел, противоположных членам натурального ряда;

Натуральный ряд чисел — это последовательность 1, 2, 3, 4, ... Противоположные им числа имеют тот же модуль, но обратный знак.

Первые несколько членов этой последовательности: -1, -2, -3, -4, ...

Формула n-го члена этой последовательности, обозначим его $b_n$, имеет вид $b_n = -n$.

• Число на 10-м месте: $b_{10} = -10$.
• Число на 45-м месте: $b_{45} = -45$.
• Число на n-м месте: $b_n = -n$.

Ответ: Первые члены: -1, -2, -3, -4, ...; число на 10-м месте: -10; число на 45-м месте: -45; число на n-м месте: $-n$.

в) последовательности чисел, обратных членам натурального ряда;

Натуральный ряд чисел — это 1, 2, 3, 4, ... Обратное число для $x$ — это $\frac{1}{x}$.

Первые несколько членов этой последовательности: $\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, ...$, то есть $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, ...$

Формула n-го члена этой последовательности, обозначим его $c_n$, имеет вид $c_n = \frac{1}{n}$.

• Число на 10-м месте: $c_{10} = \frac{1}{10}$.
• Число на 45-м месте: $c_{45} = \frac{1}{45}$.
• Число на n-м месте: $c_n = \frac{1}{n}$.

Ответ: Первые члены: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, ...$; число на 10-м месте: $\frac{1}{10}$; число на 45-м месте: $\frac{1}{45}$; число на n-м месте: $\frac{1}{n}$.

г) последовательности кубов натуральных чисел;

Эта последовательность состоит из чисел, полученных возведением натуральных чисел в третью степень.

Первые несколько членов: $1^3=1$, $2^3=8$, $3^3=27$, $4^3=64$, ...

Формула n-го члена этой последовательности, обозначим его $d_n$, имеет вид $d_n = n^3$.

• Число на 10-м месте: $d_{10} = 10^3 = 1000$.
• Число на 45-м месте: $d_{45} = 45^3 = 45 \cdot 45 \cdot 45 = 91125$.
• Число на n-м месте: $d_n = n^3$.

Ответ: Первые члены: 1, 8, 27, 64, ...; число на 10-м месте: 1000; число на 45-м месте: 91125; число на n-м месте: $n^3$.

д) последовательности степеней числа 2 с натуральными показателями;

Эта последовательность состоит из степеней числа 2, где показатели — натуральные числа (1, 2, 3, ...).

Первые несколько членов: $2^1=2$, $2^2=4$, $2^3=8$, $2^4=16$, ...

Формула n-го члена этой последовательности, обозначим его $e_n$, имеет вид $e_n = 2^n$.

• Число на 10-м месте: $e_{10} = 2^{10} = 1024$.
• Число на 45-м месте: $e_{45} = 2^{45}$.
• Число на n-м месте: $e_n = 2^n$.

Ответ: Первые члены: 2, 4, 8, 16, ...; число на 10-м месте: 1024; число на 45-м месте: $2^{45}$; число на n-м месте: $2^n$.

е) последовательности правильных дробей, у которых знаменатель на 1 больше числителя.

Правильная дробь — та, у которой числитель меньше знаменателя. В этой последовательности для n-го члена числитель равен $n$, а знаменатель, будучи на 1 больше, равен $n+1$.

Первые несколько членов: $\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$, $\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$, $\frac{3}{3+1}=\frac{3}{4}$, ...

Формула n-го члена этой последовательности, обозначим его $f_n$, имеет вид $f_n = \frac{n}{n+1}$.

• Число на 10-м месте: $f_{10} = \frac{10}{10+1} = \frac{10}{11}$.
• Число на 45-м месте: $f_{45} = \frac{45}{45+1} = \frac{45}{46}$.
• Число на n-м месте: $f_n = \frac{n}{n+1}$.

Ответ: Первые члены: $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, ...$; число на 10-м месте: $\frac{10}{11}$; число на 45-м месте: $\frac{45}{46}$; число на n-м месте: $\frac{n}{n+1}$.