Номер 340, страница 131 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.1 Числовые последовательности. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 340, страница 131.

340 Какое число стоит на 10-м месте:

а) в последовательности остатков от деления на 4 членов натурального ряда;

б) в последовательности десятичных приближений по недостатку числа $ \frac{1}{7} $ с точностью до 0,1; 0,01; 0,001 и т.д.?

а) Последовательность остатков от деления членов натурального ряда (1, 2, 3, ...) на 4 формируется следующим образом:
Остаток от деления 1 на 4 равен 1.
Остаток от деления 2 на 4 равен 2.
Остаток от деления 3 на 4 равен 3.
Остаток от деления 4 на 4 равен 0.
Остаток от деления 5 на 4 равен 1.
Остаток от деления 6 на 4 равен 2.
И так далее.
Получаем последовательность: 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, ...
Эта последовательность является периодической, и ее период состоит из 4 чисел: (1, 2, 3, 0).
Чтобы найти, какое число стоит на 10-м месте, достаточно найти остаток от деления 10 на 4.
$10 \div 4 = 2$ (остаток 2).
Это означает, что 10-й член последовательности будет таким же, как и 2-й член, то есть 2.
Проверим, выписав первые 10 членов: 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2.
Десятый член последовательности действительно равен 2.
Ответ: 2

б) Сначала преобразуем дробь $ \frac{1}{7} $ в бесконечную десятичную дробь путем деления 1 на 7 в столбик:
$ \frac{1}{7} = 0,142857142857... = 0,(142857) $.
Последовательность десятичных приближений по недостатку с заданной точностью формируется путем отбрасывания всех знаков после указанного.
1-й член (с точностью до 0,1): 0,1
2-й член (с точностью до 0,01): 0,14
3-й член (с точностью до 0,001): 0,142
...
Нам нужно найти 10-й член этой последовательности. Он соответствует приближению по недостатку с точностью до $10^{-10}$, то есть нужно взять первые 10 цифр после запятой в десятичном представлении числа $ \frac{1}{7} $.
Десятичное представление: $ 0,1428571428... $
Отсчитываем 10 знаков после запятой: 0,1428571428.
Ответ: 0,1428571428