Номер 10, страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Подведём итоги. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 10, страница 126.

10 Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} x + y = 2, \\ x^2 + 2y = 12; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y = 5, \\ xy = -14; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 26, \\ x - y = 4. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + y = 2 \\ x^2 + 2y = 12 \end{cases} $

Это система, состоящая из линейного и квадратного уравнений. Для ее решения удобно использовать метод подстановки. Выразим y из первого уравнения:
$y = 2 - x$

Теперь подставим полученное выражение для y во второе уравнение системы:
$x^2 + 2(2 - x) = 12$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 4 - 2x = 12$
$x^2 - 2x + 4 - 12 = 0$
$x^2 - 2x - 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два корня. Найдем их:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Для каждого найденного значения x найдем соответствующее значение y, используя формулу $y = 2 - x$:
Если $x_1 = 4$, то $y_1 = 2 - 4 = -2$.
Если $x_2 = -2$, то $y_2 = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(4; -2)$, $(-2; 4)$.

б)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + y = 5 \\ xy = -14 \end{cases} $

Эта система симметрична относительно переменных x и y. Такие системы удобно решать с помощью теоремы, обратной теореме Виета. Согласно ей, числа x и y являются корнями некоторого квадратного уравнения вида $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

Подставим в это уравнение известные нам значения суммы ($x+y=5$) и произведения ($xy=-14$) переменных:
$t^2 - 5t - 14 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно t. Найдем дискриминант:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$

Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{5 + \sqrt{81}}{2} = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7$
$t_2 = \frac{5 - \sqrt{81}}{2} = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Найденные корни t и являются решениями для пары (x, y). Это означает, что если $x = 7$, то $y = -2$, и наоборот, если $x = -2$, то $y = 7$.

Ответ: $(7; -2)$, $(-2; 7)$.

в)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 26 \\ x - y = 4 \end{cases} $

Решим эту систему методом подстановки. Выразим x из второго, более простого, уравнения:
$x = 4 + y$

Подставим это выражение для x в первое уравнение:
$(4 + y)^2 + y^2 = 26$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, и приведем уравнение к стандартному виду:
$(16 + 8y + y^2) + y^2 = 26$
$2y^2 + 8y + 16 - 26 = 0$
$2y^2 + 8y - 10 = 0$

Для удобства разделим все члены уравнения на 2:
$y^2 + 4y - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение для y. Найдем дискриминант:
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$

Найдем корни уравнения:
$y_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$y_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Теперь для каждого значения y найдем соответствующее значение x по формуле $x = 4 + y$:
Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 4 + 1 = 5$.
Если $y_2 = -5$, то $x_2 = 4 + (-5) = -1$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(5; 1)$, $(-1; -5)$.