Номер 339, страница 131 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.1 Числовые последовательности. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 339, страница 131.

339 Запишите первые несколько членов указанной последовательности. Конечной или бесконечной она является? Если это конечная последовательность, назовите последнее содержащееся в ней число:

а) последовательность двузначных простых чисел;

б) последовательность простых чисел, больших 100;

в) последовательность правильных дробей со знаменателем 1000;

г) последовательность десятичных приближений по недостатку числа $ \sqrt{2} $.

а) последовательность двузначных простых чисел;

Двузначные простые числа – это простые числа в диапазоне от 10 до 99. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и самого себя. Первыми членами этой последовательности являются 11, 13, 17, 19, 23 и так далее.

Эта последовательность является конечной, поскольку количество двузначных чисел ограничено (числа от 10 до 99).

Чтобы найти последнее число в этой последовательности, необходимо найти самое большое простое число, которое меньше 100. Проверяя числа в порядке убывания от 99, мы находим, что число 97 является простым (оно не делится на 2, 3, 5, 7), а числа 99, 98 не являются простыми. Таким образом, 97 — последнее число в последовательности.

Ответ: первые члены: 11, 13, 17, 19, ...; последовательность конечная; последнее число: 97.

б) последовательность простых чисел, больших 100;

Эта последовательность состоит из простых чисел, которые идут после числа 100. Чтобы найти первые члены, мы должны проверять числа 101, 102, 103 и так далее на простоту. Первые несколько членов этой последовательности: 101, 103, 107, 109, 113, ... .

Эта последовательность является бесконечной. Согласно теореме Евклида, множество простых чисел бесконечно. Это означает, что для любого, сколь угодно большого простого числа, всегда можно найти следующее за ним простое число. Следовательно, у этой последовательности нет последнего члена.

Ответ: первые члены: 101, 103, 107, 109, ...; последовательность бесконечная.

в) последовательность правильных дробей со знаменателем 1000;

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. В данном случае знаменатель равен 1000. Числитель должен быть натуральным числом (целым и положительным), меньшим 1000. Таким образом, числитель может принимать значения от 1 до 999. Если упорядочить дроби по возрастанию числителя, то первые члены последовательности будут: $\frac{1}{1000}, \frac{2}{1000}, \frac{3}{1000}, \frac{4}{1000}, \dots$ .

Эта последовательность является конечной, так как количество возможных натуральных чисел для числителя, которые меньше 1000, конечно и равно 999.

Последним членом последовательности будет дробь с наибольшим возможным числителем, то есть 999.

Ответ: первые члены: $\frac{1}{1000}, \frac{2}{1000}, \frac{3}{1000}, \dots$; последовательность конечная; последнее число: $\frac{999}{1000}$.

г) последовательность десятичных приближений по недостатку числа $\sqrt{2}$.

Десятичное приближение по недостатку (или усечение) числа $\sqrt{2}$ — это последовательность чисел, получаемых путем отбрасывания всех цифр в десятичной записи $\sqrt{2}$ после определенного разряда. Десятичная запись числа $\sqrt{2}$ является бесконечной и непериодической, так как это иррациональное число: $\sqrt{2} \approx 1,41421356...$

Первые члены последовательности:

• Приближение с точностью до целых (0 знаков после запятой): 1
• Приближение с точностью до десятых (1 знак после запятой): 1,4
• Приближение с точностью до сотых (2 знака после запятой): 1,41
• Приближение с точностью до тысячных (3 знака после запятой): 1,414
• и так далее.

Таким образом, последовательность имеет вид: 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; ...

Эта последовательность является бесконечной. Поскольку десятичное представление числа $\sqrt{2}$ никогда не заканчивается, мы можем продолжать этот процесс бесконечно, каждый раз добавляя еще одну цифру и получая новый член последовательности. Следовательно, у этой последовательности нет последнего члена.

Ответ: первые члены: 1; 1,4; 1,41; 1,414; ...; последовательность бесконечная.