Номер 346, страница 132 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.1 Числовые последовательности. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 346, страница 132.

346 Определите правило, по которому строится последовательность $(c_n)$, запишите следующие два числа и задайте последовательность формулой $n$-го члена. Найдите по формуле $c_{10}$ и $c_{20}$.

a) 3; 6; 9; 12; 15; ...

б) 1; 4; 9; 16; 25; ...

в) 1; $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{5}$; ...

г) $\frac{1}{2}$; $\frac{2}{3}$; $\frac{3}{4}$; $\frac{4}{5}$; $\frac{5}{6}$; ...

д) $\frac{2}{1}$; $\frac{3}{2}$; $\frac{4}{3}$; $\frac{5}{4}$; $\frac{6}{5}$; ...

е) $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{8}$; $\frac{1}{16}$; $\frac{1}{32}$; ...

а) Данная последовательность 3; 6; 9; 12; 15; ... является арифметической прогрессией. Каждый следующий член получается прибавлением числа 3 к предыдущему. Иначе говоря, каждый член последовательности равен произведению его номера $n$ на 3.
Следующие два числа: 15 + 3 = 18 и 18 + 3 = 21.
Формула n-го члена: $c_n = 3n$.
Найдем $c_{10}$ и $c_{20}$:
$c_{10} = 3 \cdot 10 = 30$
$c_{20} = 3 \cdot 20 = 60$
Ответ: правило - каждый член равен $3n$; следующие два числа - 18, 21; формула - $c_n = 3n$; $c_{10} = 30$, $c_{20} = 60$.

б) В последовательности 1; 4; 9; 16; 25; ... каждый член является квадратом его порядкового номера $n$.
$c_1 = 1^2 = 1$, $c_2 = 2^2 = 4$, $c_3 = 3^2 = 9$, и так далее.
Следующие два числа: $c_6 = 6^2 = 36$ и $c_7 = 7^2 = 49$.
Формула n-го члена: $c_n = n^2$.
Найдем $c_{10}$ и $c_{20}$:
$c_{10} = 10^2 = 100$
$c_{20} = 20^2 = 400$
Ответ: правило - каждый член равен $n^2$; следующие два числа - 36, 49; формула - $c_n = n^2$; $c_{10} = 100$, $c_{20} = 400$.

в) В последовательности 1; $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{5}$; ... каждый член представляет собой дробь, где числитель равен 1, а знаменатель равен порядковому номеру члена $n$. Первый член $1 = \frac{1}{1}$.
Следующие два числа: $\frac{1}{6}$ и $\frac{1}{7}$.
Формула n-го члена: $c_n = \frac{1}{n}$.
Найдем $c_{10}$ и $c_{20}$:
$c_{10} = \frac{1}{10}$
$c_{20} = \frac{1}{20}$
Ответ: правило - каждый член равен $\frac{1}{n}$; следующие два числа - $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{7}$; формула - $c_n = \frac{1}{n}$; $c_{10} = \frac{1}{10}$, $c_{20} = \frac{1}{20}$.

г) В последовательности $\frac{1}{2}$; $\frac{2}{3}$; $\frac{3}{4}$; $\frac{4}{5}$; $\frac{5}{6}$; ... каждый член представляет собой дробь, где числитель равен номеру члена $n$, а знаменатель на единицу больше числителя, т.е. $n+1$.
Следующие два числа: $c_6 = \frac{6}{6+1} = \frac{6}{7}$ и $c_7 = \frac{7}{7+1} = \frac{7}{8}$.
Формула n-го члена: $c_n = \frac{n}{n+1}$.
Найдем $c_{10}$ и $c_{20}$:
$c_{10} = \frac{10}{10+1} = \frac{10}{11}$
$c_{20} = \frac{20}{20+1} = \frac{20}{21}$
Ответ: правило - каждый член равен $\frac{n}{n+1}$; следующие два числа - $\frac{6}{7}$, $\frac{7}{8}$; формула - $c_n = \frac{n}{n+1}$; $c_{10} = \frac{10}{11}$, $c_{20} = \frac{20}{21}$.

д) В последовательности $\frac{2}{1}$; $\frac{3}{2}$; $\frac{4}{3}$; $\frac{5}{4}$; $\frac{6}{5}$; ... каждый член представляет собой дробь, где числитель на единицу больше номера члена $n$, т.е. $n+1$, а знаменатель равен номеру члена $n$.
Следующие два числа: $c_6 = \frac{6+1}{6} = \frac{7}{6}$ и $c_7 = \frac{7+1}{7} = \frac{8}{7}$.
Формула n-го члена: $c_n = \frac{n+1}{n}$.
Найдем $c_{10}$ и $c_{20}$:
$c_{10} = \frac{10+1}{10} = \frac{11}{10}$
$c_{20} = \frac{20+1}{20} = \frac{21}{20}$
Ответ: правило - каждый член равен $\frac{n+1}{n}$; следующие два числа - $\frac{7}{6}$, $\frac{8}{7}$; формула - $c_n = \frac{n+1}{n}$; $c_{10} = \frac{11}{10}$, $c_{20} = \frac{21}{20}$.

е) В последовательности $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{8}$; $\frac{1}{16}$; $\frac{1}{32}$; ... каждый член представляет собой дробь, где числитель равен 1, а знаменатель является степенью числа 2, причем показатель степени равен номеру члена $n$. Это геометрическая прогрессия.
$c_1 = \frac{1}{2^1}$, $c_2 = \frac{1}{2^2}$, $c_3 = \frac{1}{2^3}$, и так далее.
Следующие два числа: $c_6 = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64}$ и $c_7 = \frac{1}{2^7} = \frac{1}{128}$.
Формула n-го члена: $c_n = \frac{1}{2^n}$.
Найдем $c_{10}$ и $c_{20}$:
$c_{10} = \frac{1}{2^{10}} = \frac{1}{1024}$
$c_{20} = \frac{1}{2^{20}} = \frac{1}{1048576}$
Ответ: правило - каждый член равен $\frac{1}{2^n}$; следующие два числа - $\frac{1}{64}$, $\frac{1}{128}$; формула - $c_n = \frac{1}{2^n}$; $c_{10} = \frac{1}{1024}$, $c_{20} = \frac{1}{1048576}$.