Номер 349, страница 132 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.1 Числовые последовательности. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 349, страница 132.

349 Последовательность ($x_n$) задана формулой n-го члена: $x_n = n^2 - n$.

a) Найдите $x_{10}$; $x_{15}$; $x_k$; $x_{k+1}$.

б) Каким членом этой последовательности является число 56? число 110?

а)

Последовательность задана формулой $x_n = n^2 - n$. Чтобы найти указанные члены последовательности, необходимо подставить соответствующие значения в формулу вместо $n$.

Найдем $x_{10}$, подставив $n = 10$:

$x_{10} = 10^2 - 10 = 100 - 10 = 90$.

Найдем $x_{15}$, подставив $n = 15$:

$x_{15} = 15^2 - 15 = 225 - 15 = 210$.

Найдем $x_k$, подставив $n = k$:

$x_k = k^2 - k$.

Найдем $x_{k+1}$, подставив $n = k+1$:

$x_{k+1} = (k+1)^2 - (k+1) = (k^2 + 2k + 1) - (k + 1) = k^2 + 2k + 1 - k - 1 = k^2 + k$.

Ответ: $x_{10} = 90$; $x_{15} = 210$; $x_k = k^2 - k$; $x_{k+1} = k^2 + k$.

б)

Чтобы определить, каким членом последовательности является данное число, нужно найти номер $n$ (натуральное число), при котором $x_n$ равен этому числу.

1. Для числа 56 составим и решим уравнение:

$x_n = 56$

$n^2 - n = 56$

$n^2 - n - 56 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 1, а их произведение равно -56. Корнями являются числа 8 и -7.

$n_1 = 8$, $n_2 = -7$.

Так как номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом, то корень $n_2 = -7$ не является решением задачи. Следовательно, число 56 является 8-м членом последовательности.

2. Для числа 110 составим и решим уравнение:

$x_n = 110$

$n^2 - n = 110$

$n^2 - n - 110 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -110. Корнями являются числа 11 и -10.

$n_1 = 11$, $n_2 = -10$.

Так как номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом, корень $n_2 = -10$ не подходит. Следовательно, число 110 является 11-м членом последовательности.

Ответ: число 56 является 8-м членом последовательности; число 110 является 11-м членом последовательности.