Номер 354, страница 133 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.1 Числовые последовательности. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 354, страница 133.

354 Выпишите первые шесть членов последовательности ($a_n$), если:

а) $a_1 = 1, a_{n+1} = a_n + 1$;

б) $a_1 = 10, a_{n+1} = a_n - 5$;

в) $a_1 = 1, a_{n+1} = 2a_n$;

г) $a_1 = 1000, a_{n+1} = 0,1a_n$;

д) $a_1 = 8, a_{n+1} = -0,5a_n$;

е) $a_1 = -10, a_{n+1} = \frac{1}{a_n}$.

а) По условию задачи, первый член последовательности $a_1 = 1$ и задана рекуррентная формула $a_{n+1} = a_n + 1$. Это означает, что каждый следующий член на 1 больше предыдущего. Найдем первые шесть членов последовательности.
Первый член дан: $a_1 = 1$.
Второй член: $a_2 = a_1 + 1 = 1 + 1 = 2$.
Третий член: $a_3 = a_2 + 1 = 2 + 1 = 3$.
Четвертый член: $a_4 = a_3 + 1 = 3 + 1 = 4$.
Пятый член: $a_5 = a_4 + 1 = 4 + 1 = 5$.
Шестой член: $a_6 = a_5 + 1 = 5 + 1 = 6$.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

б) По условию, $a_1 = 10$ и $a_{n+1} = a_n - 5$. Это означает, что каждый следующий член на 5 меньше предыдущего. Найдем первые шесть членов.
$a_1 = 10$.
$a_2 = a_1 - 5 = 10 - 5 = 5$.
$a_3 = a_2 - 5 = 5 - 5 = 0$.
$a_4 = a_3 - 5 = 0 - 5 = -5$.
$a_5 = a_4 - 5 = -5 - 5 = -10$.
$a_6 = a_5 - 5 = -10 - 5 = -15$.
Ответ: 10, 5, 0, -5, -10, -15.

в) По условию, $a_1 = 1$ и $a_{n+1} = 2a_n$. Это означает, что каждый следующий член в 2 раза больше предыдущего. Найдем первые шесть членов.
$a_1 = 1$.
$a_2 = 2 \cdot a_1 = 2 \cdot 1 = 2$.
$a_3 = 2 \cdot a_2 = 2 \cdot 2 = 4$.
$a_4 = 2 \cdot a_3 = 2 \cdot 4 = 8$.
$a_5 = 2 \cdot a_4 = 2 \cdot 8 = 16$.
$a_6 = 2 \cdot a_5 = 2 \cdot 16 = 32$.
Ответ: 1, 2, 4, 8, 16, 32.

г) По условию, $a_1 = 1000$ и $a_{n+1} = 0,1a_n$. Это означает, что каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на 0,1. Найдем первые шесть членов.
$a_1 = 1000$.
$a_2 = 0,1 \cdot a_1 = 0,1 \cdot 1000 = 100$.
$a_3 = 0,1 \cdot a_2 = 0,1 \cdot 100 = 10$.
$a_4 = 0,1 \cdot a_3 = 0,1 \cdot 10 = 1$.
$a_5 = 0,1 \cdot a_4 = 0,1 \cdot 1 = 0,1$.
$a_6 = 0,1 \cdot a_5 = 0,1 \cdot 0,1 = 0,01$.
Ответ: 1000, 100, 10, 1, 0,1, 0,01.

д) По условию, $a_1 = 8$ и $a_{n+1} = -0,5a_n$. Это означает, что каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на -0,5. Найдем первые шесть членов.
$a_1 = 8$.
$a_2 = -0,5 \cdot a_1 = -0,5 \cdot 8 = -4$.
$a_3 = -0,5 \cdot a_2 = -0,5 \cdot (-4) = 2$.
$a_4 = -0,5 \cdot a_3 = -0,5 \cdot 2 = -1$.
$a_5 = -0,5 \cdot a_4 = -0,5 \cdot (-1) = 0,5$.
$a_6 = -0,5 \cdot a_5 = -0,5 \cdot 0,5 = -0,25$.
Ответ: 8, -4, 2, -1, 0,5, -0,25.

е) По условию, $a_1 = -10$ и $a_{n+1} = \frac{1}{a_n}$. Это означает, что каждый следующий член является обратным к предыдущему. Найдем первые шесть членов.
$a_1 = -10$.
$a_2 = \frac{1}{a_1} = \frac{1}{-10} = -0,1$.
$a_3 = \frac{1}{a_2} = \frac{1}{-0,1} = -10$.
$a_4 = \frac{1}{a_3} = \frac{1}{-10} = -0,1$.
$a_5 = \frac{1}{a_4} = \frac{1}{-0,1} = -10$.
$a_6 = \frac{1}{a_5} = \frac{1}{-10} = -0,1$.
Члены последовательности чередуются.
Ответ: -10, -0,1, -10, -0,1, -10, -0,1.