Номер 359, страница 133 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.1 Числовые последовательности. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 359, страница 133.

359 Последовательность ($c_n$) задана формулой $c_n = n^2 - 6n + 5$. Найдите все члены последовательности, которые изображаются на координатной плоскости точками, расположенными ниже прямой $y = 12$. Постройте эти точки.

Найдите все члены последовательности, которые изображаются на координатной плоскости точками, расположенными ниже прямой y = 12

Дана последовательность $(c_n)$ с общей формулой $c_n = n^2 - 6n + 5$. На координатной плоскости члены этой последовательности представляются точками с координатами $(n, c_n)$, где $n$ — натуральное число.

Условие, что точки расположены ниже прямой $y = 12$, означает, что значение члена последовательности $c_n$ должно быть строго меньше 12. Запишем это в виде неравенства:
$c_n < 12$

Подставим в неравенство формулу для $c_n$:
$n^2 - 6n + 5 < 12$

Для решения перенесем все члены в левую часть:
$n^2 - 6n + 5 - 12 < 0$
$n^2 - 6n - 7 < 0$

Это квадратичное неравенство. Чтобы его решить, найдем корни соответствующего уравнения $n^2 - 6n - 7 = 0$.
Используем формулу для корней квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$
$n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{6 \pm 8}{2}$
$n_1 = \frac{6 - 8}{2} = -1$
$n_2 = \frac{6 + 8}{2} = 7$

Графиком функции $y = n^2 - 6n - 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции будут отрицательными между ее корнями. Решением неравенства $n^2 - 6n - 7 < 0$ является интервал $-1 < n < 7$.

Поскольку $n$ — это номер члена последовательности, оно должно быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$). Выберем все натуральные числа из интервала $(-1; 7)$:
$n = 1, 2, 3, 4, 5, 6$.

Теперь вычислим значения соответствующих членов последовательности $c_n$:
Для $n=1: c_1 = 1^2 - 6(1) + 5 = 1 - 6 + 5 = 0$
Для $n=2: c_2 = 2^2 - 6(2) + 5 = 4 - 12 + 5 = -3$
Для $n=3: c_3 = 3^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$
Для $n=4: c_4 = 4^2 - 6(4) + 5 = 16 - 24 + 5 = -3$
Для $n=5: c_5 = 5^2 - 6(5) + 5 = 25 - 30 + 5 = 0$
Для $n=6: c_6 = 6^2 - 6(6) + 5 = 36 - 36 + 5 = 5$

Ответ: Члены последовательности, которые на координатной плоскости расположены ниже прямой $y=12$: $c_1=0$, $c_2=-3$, $c_3=-4$, $c_4=-3$, $c_5=0$, $c_6=5$.

Постройте эти точки

Для построения необходимо нанести на координатную плоскость точки с координатами $(n, c_n)$, которые мы нашли в предыдущем пункте.
Координаты искомых точек:
$(1; 0)$
$(2; -3)$
$(3; -4)$
$(4; -3)$
$(5; 0)$
$(6; 5)$

Для построения графика нужно:
1. Начертить оси координат $Ox$ и $Oy$.
2. Выбрать единичный отрезок.
3. Отметить на плоскости точки с указанными выше координатами.
4. Для проверки можно начертить прямую $y=12$ и убедиться, что все отмеченные точки находятся ниже нее.

Ответ: На координатной плоскости следует построить точки с координатами $(1; 0)$, $(2; -3)$, $(3; -4)$, $(4; -3)$, $(5; 0)$ и $(6; 5)$.