Номер 363, страница 138 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.2 Арифметическая прогрессия. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 363, страница 138.

363 В арифметической прогрессии $(a_n)$, разность которой равна 12, известен восьмой член: $a_8 = 54$. Восстановите начало прогрессии. Начиная с какого номера члены этой прогрессии положительны? Сколько в ней отрицательных членов?

Восстановите начало прогрессии.
Дано, что арифметическая прогрессия $(a_n)$ имеет разность $d = 12$ и восьмой член $a_8 = 54$.
Для нахождения первого члена прогрессии $a_1$ воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения для $n=8$:
$a_8 = a_1 + (8-1)d$
$54 = a_1 + 7 \cdot 12$
$54 = a_1 + 84$
$a_1 = 54 - 84$
$a_1 = -30$
Теперь, зная первый член и разность, можем найти несколько следующих членов, чтобы показать начало прогрессии:
$a_2 = a_1 + d = -30 + 12 = -18$
$a_3 = a_2 + d = -18 + 12 = -6$
$a_4 = a_3 + d = -6 + 12 = 6$
Таким образом, начало прогрессии: -30, -18, -6, 6, ...
Ответ: Первый член прогрессии $a_1 = -30$. Начало прогрессии: -30, -18, -6, 6, ...

Начиная с какого номера члены этой прогрессии положительны?
Чтобы найти, с какого номера члены прогрессии становятся положительными, нужно решить неравенство $a_n > 0$.
Используем формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$ с найденными значениями $a_1 = -30$ и $d=12$:
$-30 + (n-1) \cdot 12 > 0$
$12(n-1) > 30$
$n-1 > \frac{30}{12}$
$n-1 > 2.5$
$n > 3.5$
Поскольку номер члена $n$ должен быть натуральным числом, наименьшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству, — это $n=4$.
Проверим: $a_4 = -30 + (4-1) \cdot 12 = -30 + 36 = 6$, что больше нуля.
Ответ: Члены прогрессии положительны, начиная с 4-го номера.

Сколько в ней отрицательных членов?
Чтобы найти количество отрицательных членов, нужно решить неравенство $a_n < 0$.
$-30 + (n-1) \cdot 12 < 0$
$12(n-1) < 30$
$n-1 < 2.5$
$n < 3.5$
Номера членов $n$ должны быть натуральными числами. Этому условию удовлетворяют $n = 1, 2, 3$.
Таким образом, в прогрессии три отрицательных члена: $a_1 = -30$, $a_2 = -18$, $a_3 = -6$.
Ответ: В прогрессии 3 отрицательных члена.