Номер 357, страница 133 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.1 Числовые последовательности. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 357, страница 133.

357 1) Члены последовательности можно изображать точками на координатной плоскости: каждому члену соответствует точка, абсцисса которой равна его номеру, а ордината — значению этого члена. На рисунке 4.1 на координатной плоскости изображены первые шесть членов последовательности Фибоначчи: 1; 1; 2; 3; 5; 8. Им соответствуют точки: (1; 1), (2; 1), (3; 2), (4; 3), (5; 5), (6; 8). Назовите координаты точек, изображающих седьмой и восьмой члены этой последовательности.

2) Изобразите точками на координатной плоскости первые шесть членов последовательности $(a_n)$, если:

а) $a_n = n - 4$;

в) $a_n = \frac{12}{n}$;

б) $a_n = \frac{n}{2}$;

г) $a_n = 0,5n^2 - 8$.

В каждом случае скажите, на какой линии располагаются построенные точки; проведите тонко эту линию.

1) Последовательность Фибоначчи задается рекуррентной формулой $a_1 = 1$, $a_2 = 1$, $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ для $n > 2$. Первые шесть членов последовательности: 1, 1, 2, 3, 5, 8. То есть, $a_1=1, a_2=1, a_3=2, a_4=3, a_5=5, a_6=8$.

Чтобы найти седьмой член последовательности, нужно сложить пятый и шестой члены:

$a_7 = a_5 + a_6 = 5 + 8 = 13$.

Координаты точки, изображающей седьмой член, равны номеру члена (абсцисса) и значению члена (ордината), то есть (7; 13).

Чтобы найти восьмой член последовательности, нужно сложить шестой и седьмой члены:

$a_8 = a_6 + a_7 = 8 + 13 = 21$.

Координаты точки, изображающей восьмой член, равны (8; 21).

Ответ: координаты седьмой точки (7; 13), восьмой точки (8; 21).

2)

а) Для последовательности $a_n = n - 4$ найдем первые шесть членов:

$a_1 = 1 - 4 = -3$

$a_2 = 2 - 4 = -2$

$a_3 = 3 - 4 = -1$

$a_4 = 4 - 4 = 0$

$a_5 = 5 - 4 = 1$

$a_6 = 6 - 4 = 2$

Координаты соответствующих точек: (1; -3), (2; -2), (3; -1), (4; 0), (5; 1), (6; 2). Эти точки лежат на прямой, заданной уравнением $y = x - 4$.

Ответ: точки (1; -3), (2; -2), (3; -1), (4; 0), (5; 1), (6; 2) лежат на прямой $y = x - 4$.

б) Для последовательности $a_n = \frac{n}{2}$ найдем первые шесть членов:

$a_1 = \frac{1}{2} = 0,5$

$a_2 = \frac{2}{2} = 1$

$a_3 = \frac{3}{2} = 1,5$

$a_4 = \frac{4}{2} = 2$

$a_5 = \frac{5}{2} = 2,5$

$a_6 = \frac{6}{2} = 3$

Координаты соответствующих точек: (1; 0,5), (2; 1), (3; 1,5), (4; 2), (5; 2,5), (6; 3). Эти точки лежат на прямой, заданной уравнением $y = \frac{x}{2}$ или $y = 0,5x$.

Ответ: точки (1; 0,5), (2; 1), (3; 1,5), (4; 2), (5; 2,5), (6; 3) лежат на прямой $y = \frac{x}{2}$.

в) Для последовательности $a_n = \frac{12}{n}$ найдем первые шесть членов:

$a_1 = \frac{12}{1} = 12$

$a_2 = \frac{12}{2} = 6$

$a_3 = \frac{12}{3} = 4$

$a_4 = \frac{12}{4} = 3$

$a_5 = \frac{12}{5} = 2,4$

$a_6 = \frac{12}{6} = 2$

Координаты соответствующих точек: (1; 12), (2; 6), (3; 4), (4; 3), (5; 2,4), (6; 2). Эти точки лежат на кривой, которая является ветвью гиперболы, заданной уравнением $y = \frac{12}{x}$.

Ответ: точки (1; 12), (2; 6), (3; 4), (4; 3), (5; 2,4), (6; 2) лежат на гиперболе $y = \frac{12}{x}$.

г) Для последовательности $a_n = 0,5n^2 - 8$ найдем первые шесть членов:

$a_1 = 0,5 \cdot 1^2 - 8 = 0,5 - 8 = -7,5$

$a_2 = 0,5 \cdot 2^2 - 8 = 0,5 \cdot 4 - 8 = 2 - 8 = -6$

$a_3 = 0,5 \cdot 3^2 - 8 = 0,5 \cdot 9 - 8 = 4,5 - 8 = -3,5$

$a_4 = 0,5 \cdot 4^2 - 8 = 0,5 \cdot 16 - 8 = 8 - 8 = 0$

$a_5 = 0,5 \cdot 5^2 - 8 = 0,5 \cdot 25 - 8 = 12,5 - 8 = 4,5$

$a_6 = 0,5 \cdot 6^2 - 8 = 0,5 \cdot 36 - 8 = 18 - 8 = 10$

Координаты соответствующих точек: (1; -7,5), (2; -6), (3; -3,5), (4; 0), (5; 4,5), (6; 10). Эти точки лежат на кривой, которая является параболой, заданной уравнением $y = 0,5x^2 - 8$.

Ответ: точки (1; -7,5), (2; -6), (3; -3,5), (4; 0), (5; 4,5), (6; 10) лежат на параболе $y = 0,5x^2 - 8$.