Номер 350, страница 132 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.1 Числовые последовательности. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 350, страница 132.

350 Вычислите первые восемь членов последовательности ($b_n$), заданной формулой $n$-го члена: а) $b_n = \frac{n-1}{n+1}$; б) $b_n = \frac{n+2}{n+1}$. В каждом случае ответьте на вопросы:

1) Как меняются члены последовательности с ростом номера $n$ — увеличиваются или уменьшаются?

2) Есть ли среди членов последовательности число 1?

а) $b_n = \frac{n - 1}{n + 1}$

Вычислим первые восемь членов последовательности, подставляя значения $n$ от 1 до 8:

• $b_1 = \frac{1 - 1}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0$
• $b_2 = \frac{2 - 1}{2 + 1} = \frac{1}{3}$
• $b_3 = \frac{3 - 1}{3 + 1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
• $b_4 = \frac{4 - 1}{4 + 1} = \frac{3}{5}$
• $b_5 = \frac{5 - 1}{5 + 1} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
• $b_6 = \frac{6 - 1}{6 + 1} = \frac{5}{7}$
• $b_7 = \frac{7 - 1}{7 + 1} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
• $b_8 = \frac{8 - 1}{8 + 1} = \frac{7}{9}$

1) Как меняются члены последовательности с ростом номера n — увеличиваются или уменьшаются?

Чтобы определить, является ли последовательность возрастающей или убывающей, сравним два соседних члена: $b_{n+1}$ и $b_n$. Найдем их разность:

$b_{n+1} - b_n = \frac{(n+1) - 1}{(n+1) + 1} - \frac{n - 1}{n + 1} = \frac{n}{n + 2} - \frac{n - 1}{n + 1} = \frac{n(n+1) - (n-1)(n+2)}{(n+2)(n+1)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{n^2+n - (n^2+2n-n-2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{n^2+n - (n^2+n-2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{n^2+n-n^2-n+2}{(n+2)(n+1)} = \frac{2}{(n+2)(n+1)}$

Поскольку номер члена последовательности $n$ является натуральным числом ($n \ge 1$), знаменатель $(n+2)(n+1)$ всегда будет положительным. Числитель равен 2, также положительное число. Следовательно, вся дробь $\frac{2}{(n+2)(n+1)}$ всегда положительна. Это означает, что $b_{n+1} - b_n > 0$, то есть $b_{n+1} > b_n$. Каждый следующий член последовательности больше предыдущего.

Ответ: члены последовательности увеличиваются с ростом номера $n$.

2) Есть ли среди членов последовательности число 1?

Чтобы ответить на этот вопрос, приравняем формулу n-го члена к 1 и попробуем найти соответствующий номер $n$:

$b_n = 1 \implies \frac{n - 1}{n + 1} = 1$

При условии, что $n+1 \ne 0$, умножим обе части на $n+1$:

$n - 1 = n + 1$

Вычтем $n$ из обеих частей:

$-1 = 1$

Мы получили неверное числовое равенство, которое не зависит от $n$. Это означает, что уравнение не имеет решений. Следовательно, не существует такого натурального номера $n$, при котором член последовательности был бы равен 1.

Ответ: нет, число 1 не является членом данной последовательности.

---

б) $b_n = \frac{n + 2}{n + 1}$

Вычислим первые восемь членов последовательности:

• $b_1 = \frac{1 + 2}{1 + 1} = \frac{3}{2}$
• $b_2 = \frac{2 + 2}{2 + 1} = \frac{4}{3}$
• $b_3 = \frac{3 + 2}{3 + 1} = \frac{5}{4}$
• $b_4 = \frac{4 + 2}{4 + 1} = \frac{6}{5}$
• $b_5 = \frac{5 + 2}{5 + 1} = \frac{7}{6}$
• $b_6 = \frac{6 + 2}{6 + 1} = \frac{8}{7}$
• $b_7 = \frac{7 + 2}{7 + 1} = \frac{9}{8}$
• $b_8 = \frac{8 + 2}{8 + 1} = \frac{10}{9}$

1) Как меняются члены последовательности с ростом номера n — увеличиваются или уменьшаются?

Преобразуем формулу n-го члена, выделив целую часть:

$b_n = \frac{n + 2}{n + 1} = \frac{(n + 1) + 1}{n + 1} = \frac{n+1}{n+1} + \frac{1}{n+1} = 1 + \frac{1}{n+1}$

С ростом номера $n$, знаменатель дроби $n+1$ увеличивается. Чем больше знаменатель положительной дроби, тем меньше сама дробь. Значит, слагаемое $\frac{1}{n+1}$ уменьшается. Поскольку $b_n$ равно сумме константы 1 и убывающего положительного слагаемого, то и сами члены последовательности уменьшаются с ростом $n$.

Ответ: члены последовательности уменьшаются с ростом номера $n$.

2) Есть ли среди членов последовательности число 1?

Приравняем формулу n-го члена к 1:

$b_n = 1 \implies \frac{n + 2}{n + 1} = 1$

Умножим обе части на $n+1$ (так как $n \ge 1$, то $n+1 \ne 0$):

$n + 2 = n + 1$

Вычтем $n$ из обеих частей:

$2 = 1$

Мы снова получили неверное равенство. Это означает, что уравнение не имеет решений. Также из преобразованной формулы $b_n = 1 + \frac{1}{n+1}$ видно, что при любом натуральном $n$ слагаемое $\frac{1}{n+1}$ будет положительным, а значит $b_n$ всегда будет строго больше 1.

Ответ: нет, число 1 не является членом данной последовательности.