Номер 352, страница 132 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.1 Числовые последовательности. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 352, страница 132.

352 Последовательность $(y_n)$ задана формулой $y_n = 3^{n-5}$.

1) Выпишите все члены этой последовательности, большие 0,1 и меньшие 10. Укажите номера этих членов.

2) Найдите отношения: $\frac{y_{10}}{y_9}$, $\frac{y_{100}}{y_{99}}$, $\frac{y_{k+1}}{y_k}$. Сделайте вывод.

1) Выпишите все члены этой последовательности, большие 0,1 и меньшие 10. Укажите номера этих членов.

Последовательность задана формулой $y_n = 3^{n-5}$. Нам необходимо найти все члены этой последовательности, которые удовлетворяют двойному неравенству $0,1 < y_n < 10$.

Подставим формулу для $y_n$ в неравенство:
$0,1 < 3^{n-5} < 10$.

Поскольку номер члена последовательности $n$ является натуральным числом ($n \in N$), мы можем найти искомые члены, вычисляя значения $y_n$ для $n=1, 2, 3, \dots$:
При $n=1$: $y_1 = 3^{1-5} = 3^{-4} = \frac{1}{81} \approx 0,012$. Это значение меньше 0,1.
При $n=2$: $y_2 = 3^{2-5} = 3^{-3} = \frac{1}{27} \approx 0,037$. Это значение меньше 0,1.
При $n=3$: $y_3 = 3^{3-5} = 3^{-2} = \frac{1}{9}$. Так как $0,1 < \frac{1}{9} \approx 0,111 < 10$, этот член подходит.
При $n=4$: $y_4 = 3^{4-5} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$. Так как $0,1 < \frac{1}{3} < 10$, этот член подходит.
При $n=5$: $y_5 = 3^{5-5} = 3^{0} = 1$. Так как $0,1 < 1 < 10$, этот член подходит.
При $n=6$: $y_6 = 3^{6-5} = 3^{1} = 3$. Так как $0,1 < 3 < 10$, этот член подходит.
При $n=7$: $y_7 = 3^{7-5} = 3^{2} = 9$. Так как $0,1 < 9 < 10$, этот член подходит.
При $n=8$: $y_8 = 3^{8-5} = 3^{3} = 27$. Это значение больше 10.

Так как основание степени $3>1$, последовательность $y_n$ является возрастающей. Это значит, что все члены с номерами $n \ge 8$ будут больше 10. Следовательно, мы нашли все подходящие члены.

Ответ: Члены последовательности, удовлетворяющие условию: $y_3 = \frac{1}{9}$, $y_4 = \frac{1}{3}$, $y_5 = 1$, $y_6 = 3$, $y_7 = 9$. Номера этих членов: 3, 4, 5, 6, 7.

2) Найдите отношения: $\frac{y_{10}}{y_9}$, $\frac{y_{100}}{y_{99}}$, $\frac{y_{k+1}}{y_k}$. Сделайте вывод.

Для нахождения указанных отношений воспользуемся формулой $y_n = 3^{n-5}$ и свойством степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Вычислим первое отношение:
$\frac{y_{10}}{y_9} = \frac{3^{10-5}}{3^{9-5}} = \frac{3^5}{3^4} = 3^{5-4} = 3^1 = 3$.

Вычислим второе отношение:
$\frac{y_{100}}{y_{99}} = \frac{3^{100-5}}{3^{99-5}} = \frac{3^{95}}{3^{94}} = 3^{95-94} = 3^1 = 3$.

Вычислим третье отношение для произвольного натурального $k$:
$\frac{y_{k+1}}{y_k} = \frac{3^{(k+1)-5}}{3^{k-5}} = \frac{3^{k-4}}{3^{k-5}} = 3^{(k-4)-(k-5)} = 3^{k-4-k+5} = 3^1 = 3$.

Вывод: Отношение любого члена последовательности к предыдущему члену является постоянной величиной, равной 3. По определению, это означает, что последовательность $(y_n)$ является геометрической прогрессией со знаменателем $q=3$.

Ответ: $\frac{y_{10}}{y_9} = 3$; $\frac{y_{100}}{y_{99}} = 3$; $\frac{y_{k+1}}{y_k} = 3$. Вывод: последовательность $(y_n)$ является геометрической прогрессией со знаменателем $q=3$.