Страница 132 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

345 Вычислите первые шесть членов последовательности ($a_n$), заданной формулой n-го члена, и дайте ей «имя»:

а) $a_n = n$;

б) $a_n = 2n - 1$;

в) $a_n = 4n$;

г) $a_n = 1 - n$.

Образец. $a_n = 2n$; 2; 4; 6; 8; 10; ... — это последовательность чётных чисел.

а) Для последовательности, заданной формулой $a_n = n$, найдем первые шесть членов, подставляя вместо $n$ значения от 1 до 6:

• при $n=1$, $a_1 = 1$
• при $n=2$, $a_2 = 2$
• при $n=3$, $a_3 = 3$
• при $n=4$, $a_4 = 4$
• при $n=5$, $a_5 = 5$
• при $n=6$, $a_6 = 6$

Получаем последовательность: 1; 2; 3; 4; 5; 6; ...

Это последовательность натуральных чисел.

Ответ: 1; 2; 3; 4; 5; 6; ... — последовательность натуральных чисел.

б) Для последовательности, заданной формулой $a_n = 2n - 1$, найдем первые шесть членов:

• при $n=1$, $a_1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1$
• при $n=2$, $a_2 = 2 \cdot 2 - 1 = 3$
• при $n=3$, $a_3 = 2 \cdot 3 - 1 = 5$
• при $n=4$, $a_4 = 2 \cdot 4 - 1 = 7$
• при $n=5$, $a_5 = 2 \cdot 5 - 1 = 9$
• при $n=6$, $a_6 = 2 \cdot 6 - 1 = 11$

Получаем последовательность: 1; 3; 5; 7; 9; 11; ...

Это последовательность нечётных натуральных чисел.

Ответ: 1; 3; 5; 7; 9; 11; ... — последовательность нечётных натуральных чисел.

в) Для последовательности, заданной формулой $a_n = 4n$, найдем первые шесть членов:

• при $n=1$, $a_1 = 4 \cdot 1 = 4$
• при $n=2$, $a_2 = 4 \cdot 2 = 8$
• при $n=3$, $a_3 = 4 \cdot 3 = 12$
• при $n=4$, $a_4 = 4 \cdot 4 = 16$
• при $n=5$, $a_5 = 4 \cdot 5 = 20$
• при $n=6$, $a_6 = 4 \cdot 6 = 24$

Получаем последовательность: 4; 8; 12; 16; 20; 24; ...

Это последовательность натуральных чисел, кратных 4.

Ответ: 4; 8; 12; 16; 20; 24; ... — последовательность натуральных чисел, кратных 4.

г) Для последовательности, заданной формулой $a_n = 1 - n$, найдем первые шесть членов:

• при $n=1$, $a_1 = 1 - 1 = 0$
• при $n=2$, $a_2 = 1 - 2 = -1$
• при $n=3$, $a_3 = 1 - 3 = -2$
• при $n=4$, $a_4 = 1 - 4 = -3$
• при $n=5$, $a_5 = 1 - 5 = -4$
• при $n=6$, $a_6 = 1 - 6 = -5$

Получаем последовательность: 0; -1; -2; -3; -4; -5; ...

Это последовательность неположительных целых чисел.

Ответ: 0; -1; -2; -3; -4; -5; ... — последовательность неположительных целых чисел.

346 Определите правило, по которому строится последовательность $(c_n)$, запишите следующие два числа и задайте последовательность формулой $n$-го члена. Найдите по формуле $c_{10}$ и $c_{20}$.

a) 3; 6; 9; 12; 15; ...

б) 1; 4; 9; 16; 25; ...

в) 1; $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{5}$; ...

г) $\frac{1}{2}$; $\frac{2}{3}$; $\frac{3}{4}$; $\frac{4}{5}$; $\frac{5}{6}$; ...

д) $\frac{2}{1}$; $\frac{3}{2}$; $\frac{4}{3}$; $\frac{5}{4}$; $\frac{6}{5}$; ...

е) $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{8}$; $\frac{1}{16}$; $\frac{1}{32}$; ...

а) Данная последовательность 3; 6; 9; 12; 15; ... является арифметической прогрессией. Каждый следующий член получается прибавлением числа 3 к предыдущему. Иначе говоря, каждый член последовательности равен произведению его номера $n$ на 3.
Следующие два числа: 15 + 3 = 18 и 18 + 3 = 21.
Формула n-го члена: $c_n = 3n$.
Найдем $c_{10}$ и $c_{20}$:
$c_{10} = 3 \cdot 10 = 30$
$c_{20} = 3 \cdot 20 = 60$
Ответ: правило - каждый член равен $3n$; следующие два числа - 18, 21; формула - $c_n = 3n$; $c_{10} = 30$, $c_{20} = 60$.

б) В последовательности 1; 4; 9; 16; 25; ... каждый член является квадратом его порядкового номера $n$.
$c_1 = 1^2 = 1$, $c_2 = 2^2 = 4$, $c_3 = 3^2 = 9$, и так далее.
Следующие два числа: $c_6 = 6^2 = 36$ и $c_7 = 7^2 = 49$.
Формула n-го члена: $c_n = n^2$.
Найдем $c_{10}$ и $c_{20}$:
$c_{10} = 10^2 = 100$
$c_{20} = 20^2 = 400$
Ответ: правило - каждый член равен $n^2$; следующие два числа - 36, 49; формула - $c_n = n^2$; $c_{10} = 100$, $c_{20} = 400$.

в) В последовательности 1; $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{5}$; ... каждый член представляет собой дробь, где числитель равен 1, а знаменатель равен порядковому номеру члена $n$. Первый член $1 = \frac{1}{1}$.
Следующие два числа: $\frac{1}{6}$ и $\frac{1}{7}$.
Формула n-го члена: $c_n = \frac{1}{n}$.
Найдем $c_{10}$ и $c_{20}$:
$c_{10} = \frac{1}{10}$
$c_{20} = \frac{1}{20}$
Ответ: правило - каждый член равен $\frac{1}{n}$; следующие два числа - $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{7}$; формула - $c_n = \frac{1}{n}$; $c_{10} = \frac{1}{10}$, $c_{20} = \frac{1}{20}$.

г) В последовательности $\frac{1}{2}$; $\frac{2}{3}$; $\frac{3}{4}$; $\frac{4}{5}$; $\frac{5}{6}$; ... каждый член представляет собой дробь, где числитель равен номеру члена $n$, а знаменатель на единицу больше числителя, т.е. $n+1$.
Следующие два числа: $c_6 = \frac{6}{6+1} = \frac{6}{7}$ и $c_7 = \frac{7}{7+1} = \frac{7}{8}$.
Формула n-го члена: $c_n = \frac{n}{n+1}$.
Найдем $c_{10}$ и $c_{20}$:
$c_{10} = \frac{10}{10+1} = \frac{10}{11}$
$c_{20} = \frac{20}{20+1} = \frac{20}{21}$
Ответ: правило - каждый член равен $\frac{n}{n+1}$; следующие два числа - $\frac{6}{7}$, $\frac{7}{8}$; формула - $c_n = \frac{n}{n+1}$; $c_{10} = \frac{10}{11}$, $c_{20} = \frac{20}{21}$.

д) В последовательности $\frac{2}{1}$; $\frac{3}{2}$; $\frac{4}{3}$; $\frac{5}{4}$; $\frac{6}{5}$; ... каждый член представляет собой дробь, где числитель на единицу больше номера члена $n$, т.е. $n+1$, а знаменатель равен номеру члена $n$.
Следующие два числа: $c_6 = \frac{6+1}{6} = \frac{7}{6}$ и $c_7 = \frac{7+1}{7} = \frac{8}{7}$.
Формула n-го члена: $c_n = \frac{n+1}{n}$.
Найдем $c_{10}$ и $c_{20}$:
$c_{10} = \frac{10+1}{10} = \frac{11}{10}$
$c_{20} = \frac{20+1}{20} = \frac{21}{20}$
Ответ: правило - каждый член равен $\frac{n+1}{n}$; следующие два числа - $\frac{7}{6}$, $\frac{8}{7}$; формула - $c_n = \frac{n+1}{n}$; $c_{10} = \frac{11}{10}$, $c_{20} = \frac{21}{20}$.

е) В последовательности $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{8}$; $\frac{1}{16}$; $\frac{1}{32}$; ... каждый член представляет собой дробь, где числитель равен 1, а знаменатель является степенью числа 2, причем показатель степени равен номеру члена $n$. Это геометрическая прогрессия.
$c_1 = \frac{1}{2^1}$, $c_2 = \frac{1}{2^2}$, $c_3 = \frac{1}{2^3}$, и так далее.
Следующие два числа: $c_6 = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64}$ и $c_7 = \frac{1}{2^7} = \frac{1}{128}$.
Формула n-го члена: $c_n = \frac{1}{2^n}$.
Найдем $c_{10}$ и $c_{20}$:
$c_{10} = \frac{1}{2^{10}} = \frac{1}{1024}$
$c_{20} = \frac{1}{2^{20}} = \frac{1}{1048576}$
Ответ: правило - каждый член равен $\frac{1}{2^n}$; следующие два числа - $\frac{1}{64}$, $\frac{1}{128}$; формула - $c_n = \frac{1}{2^n}$; $c_{10} = \frac{1}{1024}$, $c_{20} = \frac{1}{1048576}$.

347 Последовательность ($a_n$) задана формулой $a_n = 3n - 15$.

Найдите:

а) все члены с $a_1$ по $a_8$;

б) $a_{50}$;

в) $a_{101}$;

г) $a_k$;

д) $a_{k+1}$.

Последовательность $(a_n)$ задана формулой $a_n = 3n - 15$. Для нахождения членов последовательности необходимо подставлять соответствующий номер члена ($n$) в данную формулу.

а) все члены с $a_1$ по $a_8$;
Для нахождения членов с первого по восьмой, последовательно подставляем в формулу значения $n$ от 1 до 8.
$a_1 = 3 \cdot 1 - 15 = 3 - 15 = -12$
$a_2 = 3 \cdot 2 - 15 = 6 - 15 = -9$
$a_3 = 3 \cdot 3 - 15 = 9 - 15 = -6$
$a_4 = 3 \cdot 4 - 15 = 12 - 15 = -3$
$a_5 = 3 \cdot 5 - 15 = 15 - 15 = 0$
$a_6 = 3 \cdot 6 - 15 = 18 - 15 = 3$
$a_7 = 3 \cdot 7 - 15 = 21 - 15 = 6$
$a_8 = 3 \cdot 8 - 15 = 24 - 15 = 9$
Ответ: -12, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9.

б) $a_{50}$;
Чтобы найти 50-й член последовательности, подставляем $n=50$ в формулу.
$a_{50} = 3 \cdot 50 - 15 = 150 - 15 = 135$
Ответ: 135.

в) $a_{101}$;
Чтобы найти 101-й член последовательности, подставляем $n=101$ в формулу.
$a_{101} = 3 \cdot 101 - 15 = 303 - 15 = 288$
Ответ: 288.

г) $a_k$;
Чтобы найти k-й член последовательности, мы заменяем в формуле индекс $n$ на $k$.
$a_k = 3k - 15$
Ответ: $3k - 15$.

д) $a_{k+1}$.
Чтобы найти (k+1)-й член последовательности, мы заменяем в формуле индекс $n$ на $(k+1)$.
$a_{k+1} = 3(k+1) - 15 = 3k + 3 - 15 = 3k - 12$
Ответ: $3k - 12$.

348. Последовательность ($b_n$) задана формулой $b_n = 0,1 \cdot 2^{n-1}$.

Найдите:

а) все члены с $b_1$ по $b_7$;

б) $b_{10}$;

в) $b_{11}$;

г) $b_{k-1}$;

д) $b_{k+2}$.

Данная последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией, где первый член $b_1 = 0,1$ и знаменатель $q = 2$. Общая формула для n-го члена последовательности задана как $b_n = 0,1 \cdot 2^{n-1}$.

а) все члены с b₁ по b₇

Для нахождения первых семи членов последовательности подставим значения $n$ от 1 до 7 в формулу $b_n = 0,1 \cdot 2^{n-1}$.

$b_1 = 0,1 \cdot 2^{1-1} = 0,1 \cdot 2^0 = 0,1 \cdot 1 = 0,1$

$b_2 = 0,1 \cdot 2^{2-1} = 0,1 \cdot 2^1 = 0,2$

$b_3 = 0,1 \cdot 2^{3-1} = 0,1 \cdot 2^2 = 0,1 \cdot 4 = 0,4$

$b_4 = 0,1 \cdot 2^{4-1} = 0,1 \cdot 2^3 = 0,1 \cdot 8 = 0,8$

$b_5 = 0,1 \cdot 2^{5-1} = 0,1 \cdot 2^4 = 0,1 \cdot 16 = 1,6$

$b_6 = 0,1 \cdot 2^{6-1} = 0,1 \cdot 2^5 = 0,1 \cdot 32 = 3,2$

$b_7 = 0,1 \cdot 2^{7-1} = 0,1 \cdot 2^6 = 0,1 \cdot 64 = 6,4$

Ответ: $b_1 = 0,1$; $b_2 = 0,2$; $b_3 = 0,4$; $b_4 = 0,8$; $b_5 = 1,6$; $b_6 = 3,2$; $b_7 = 6,4$.

б) b₁₀

Для нахождения десятого члена последовательности подставим $n = 10$ в формулу:

$b_{10} = 0,1 \cdot 2^{10-1} = 0,1 \cdot 2^9 = 0,1 \cdot 512 = 51,2$

Ответ: $51,2$.

в) b₁₁

Для нахождения одиннадцатого члена последовательности подставим $n = 11$ в формулу:

$b_{11} = 0,1 \cdot 2^{11-1} = 0,1 \cdot 2^{10} = 0,1 \cdot 1024 = 102,4$

Ответ: $102,4$.

г) bₖ₋₁

Для нахождения члена последовательности с номером $k-1$, подставим $n = k-1$ в общую формулу:

$b_{k-1} = 0,1 \cdot 2^{(k-1)-1} = 0,1 \cdot 2^{k-2}$

Ответ: $0,1 \cdot 2^{k-2}$.

д) bₖ₊₂

Для нахождения члена последовательности с номером $k+2$, подставим $n = k+2$ в общую формулу:

$b_{k+2} = 0,1 \cdot 2^{(k+2)-1} = 0,1 \cdot 2^{k+1}$

Ответ: $0,1 \cdot 2^{k+1}$.

349 Последовательность ($x_n$) задана формулой n-го члена: $x_n = n^2 - n$.

a) Найдите $x_{10}$; $x_{15}$; $x_k$; $x_{k+1}$.

б) Каким членом этой последовательности является число 56? число 110?

а)

Последовательность задана формулой $x_n = n^2 - n$. Чтобы найти указанные члены последовательности, необходимо подставить соответствующие значения в формулу вместо $n$.

Найдем $x_{10}$, подставив $n = 10$:

$x_{10} = 10^2 - 10 = 100 - 10 = 90$.

Найдем $x_{15}$, подставив $n = 15$:

$x_{15} = 15^2 - 15 = 225 - 15 = 210$.

Найдем $x_k$, подставив $n = k$:

$x_k = k^2 - k$.

Найдем $x_{k+1}$, подставив $n = k+1$:

$x_{k+1} = (k+1)^2 - (k+1) = (k^2 + 2k + 1) - (k + 1) = k^2 + 2k + 1 - k - 1 = k^2 + k$.

Ответ: $x_{10} = 90$; $x_{15} = 210$; $x_k = k^2 - k$; $x_{k+1} = k^2 + k$.

б)

Чтобы определить, каким членом последовательности является данное число, нужно найти номер $n$ (натуральное число), при котором $x_n$ равен этому числу.

1. Для числа 56 составим и решим уравнение:

$x_n = 56$

$n^2 - n = 56$

$n^2 - n - 56 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 1, а их произведение равно -56. Корнями являются числа 8 и -7.

$n_1 = 8$, $n_2 = -7$.

Так как номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом, то корень $n_2 = -7$ не является решением задачи. Следовательно, число 56 является 8-м членом последовательности.

2. Для числа 110 составим и решим уравнение:

$x_n = 110$

$n^2 - n = 110$

$n^2 - n - 110 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -110. Корнями являются числа 11 и -10.

$n_1 = 11$, $n_2 = -10$.

Так как номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом, корень $n_2 = -10$ не подходит. Следовательно, число 110 является 11-м членом последовательности.

Ответ: число 56 является 8-м членом последовательности; число 110 является 11-м членом последовательности.

350 Вычислите первые восемь членов последовательности ($b_n$), заданной формулой $n$-го члена: а) $b_n = \frac{n-1}{n+1}$; б) $b_n = \frac{n+2}{n+1}$. В каждом случае ответьте на вопросы:

1) Как меняются члены последовательности с ростом номера $n$ — увеличиваются или уменьшаются?

2) Есть ли среди членов последовательности число 1?

а) $b_n = \frac{n - 1}{n + 1}$

Вычислим первые восемь членов последовательности, подставляя значения $n$ от 1 до 8:

• $b_1 = \frac{1 - 1}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0$
• $b_2 = \frac{2 - 1}{2 + 1} = \frac{1}{3}$
• $b_3 = \frac{3 - 1}{3 + 1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
• $b_4 = \frac{4 - 1}{4 + 1} = \frac{3}{5}$
• $b_5 = \frac{5 - 1}{5 + 1} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
• $b_6 = \frac{6 - 1}{6 + 1} = \frac{5}{7}$
• $b_7 = \frac{7 - 1}{7 + 1} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
• $b_8 = \frac{8 - 1}{8 + 1} = \frac{7}{9}$

1) Как меняются члены последовательности с ростом номера n — увеличиваются или уменьшаются?

Чтобы определить, является ли последовательность возрастающей или убывающей, сравним два соседних члена: $b_{n+1}$ и $b_n$. Найдем их разность:

$b_{n+1} - b_n = \frac{(n+1) - 1}{(n+1) + 1} - \frac{n - 1}{n + 1} = \frac{n}{n + 2} - \frac{n - 1}{n + 1} = \frac{n(n+1) - (n-1)(n+2)}{(n+2)(n+1)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{n^2+n - (n^2+2n-n-2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{n^2+n - (n^2+n-2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{n^2+n-n^2-n+2}{(n+2)(n+1)} = \frac{2}{(n+2)(n+1)}$

Поскольку номер члена последовательности $n$ является натуральным числом ($n \ge 1$), знаменатель $(n+2)(n+1)$ всегда будет положительным. Числитель равен 2, также положительное число. Следовательно, вся дробь $\frac{2}{(n+2)(n+1)}$ всегда положительна. Это означает, что $b_{n+1} - b_n > 0$, то есть $b_{n+1} > b_n$. Каждый следующий член последовательности больше предыдущего.

Ответ: члены последовательности увеличиваются с ростом номера $n$.

2) Есть ли среди членов последовательности число 1?

Чтобы ответить на этот вопрос, приравняем формулу n-го члена к 1 и попробуем найти соответствующий номер $n$:

$b_n = 1 \implies \frac{n - 1}{n + 1} = 1$

При условии, что $n+1 \ne 0$, умножим обе части на $n+1$:

$n - 1 = n + 1$

Вычтем $n$ из обеих частей:

$-1 = 1$

Мы получили неверное числовое равенство, которое не зависит от $n$. Это означает, что уравнение не имеет решений. Следовательно, не существует такого натурального номера $n$, при котором член последовательности был бы равен 1.

Ответ: нет, число 1 не является членом данной последовательности.

б) $b_n = \frac{n + 2}{n + 1}$

Вычислим первые восемь членов последовательности:

• $b_1 = \frac{1 + 2}{1 + 1} = \frac{3}{2}$
• $b_2 = \frac{2 + 2}{2 + 1} = \frac{4}{3}$
• $b_3 = \frac{3 + 2}{3 + 1} = \frac{5}{4}$
• $b_4 = \frac{4 + 2}{4 + 1} = \frac{6}{5}$
• $b_5 = \frac{5 + 2}{5 + 1} = \frac{7}{6}$
• $b_6 = \frac{6 + 2}{6 + 1} = \frac{8}{7}$
• $b_7 = \frac{7 + 2}{7 + 1} = \frac{9}{8}$
• $b_8 = \frac{8 + 2}{8 + 1} = \frac{10}{9}$

1) Как меняются члены последовательности с ростом номера n — увеличиваются или уменьшаются?

Преобразуем формулу n-го члена, выделив целую часть:

$b_n = \frac{n + 2}{n + 1} = \frac{(n + 1) + 1}{n + 1} = \frac{n+1}{n+1} + \frac{1}{n+1} = 1 + \frac{1}{n+1}$

С ростом номера $n$, знаменатель дроби $n+1$ увеличивается. Чем больше знаменатель положительной дроби, тем меньше сама дробь. Значит, слагаемое $\frac{1}{n+1}$ уменьшается. Поскольку $b_n$ равно сумме константы 1 и убывающего положительного слагаемого, то и сами члены последовательности уменьшаются с ростом $n$.

Ответ: члены последовательности уменьшаются с ростом номера $n$.

2) Есть ли среди членов последовательности число 1?

Приравняем формулу n-го члена к 1:

$b_n = 1 \implies \frac{n + 2}{n + 1} = 1$

Умножим обе части на $n+1$ (так как $n \ge 1$, то $n+1 \ne 0$):

$n + 2 = n + 1$

Вычтем $n$ из обеих частей:

$2 = 1$

Мы снова получили неверное равенство. Это означает, что уравнение не имеет решений. Также из преобразованной формулы $b_n = 1 + \frac{1}{n+1}$ видно, что при любом натуральном $n$ слагаемое $\frac{1}{n+1}$ будет положительным, а значит $b_n$ всегда будет строго больше 1.

Ответ: нет, число 1 не является членом данной последовательности.

351 Последовательность ($z_n$) задана формулой $z_n = n - \frac{1}{n}$. Выпишите все члены этой последовательности, меньшие 10. Сколько таких членов?

Последовательность $(z_n)$ задана формулой $z_n = n - \frac{1}{n}$. Чтобы найти все члены этой последовательности, которые меньше 10, необходимо решить неравенство $z_n < 10$ для натуральных $n$ ($n \in \mathbb{N}$).

$n - \frac{1}{n} < 10$

Поскольку $n$ - натуральное число, оно всегда положительно ($n>0$). Поэтому мы можем умножить обе части неравенства на $n$, не меняя знака неравенства:

$n \cdot (n - \frac{1}{n}) < 10 \cdot n$

$n^2 - 1 < 10n$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:

$n^2 - 10n - 1 < 0$

Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $n^2 - 10n - 1 = 0$. Воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 100 + 4 = 104$

$n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{104}}{2} = 5 \pm \sqrt{\frac{104}{4}} = 5 \pm \sqrt{26}$

Графиком функции $y = n^2 - 10n - 1$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции меньше нуля на интервале между корнями. Таким образом, решение неравенства:

$5 - \sqrt{26} < n < 5 + \sqrt{26}$

Оценим числовые значения границ этого интервала. Зная, что $5^2 = 25$ и $5.1^2 = 26.01$, можно сказать, что $\sqrt{26} \approx 5.1$.

$5 - 5.1 < n < 5 + 5.1$

$-0.1 < n < 10.1$

Так как $n$ может быть только натуральным числом, то этому условию удовлетворяют следующие значения $n$: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$.

Выпишите все члены этой последовательности, меньшие 10.

Вычислим значения членов последовательности для каждого найденного $n$:

• $n=1: z_1 = 1 - \frac{1}{1} = 0$
• $n=2: z_2 = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
• $n=3: z_3 = 3 - \frac{1}{3} = \frac{8}{3}$
• $n=4: z_4 = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$
• $n=5: z_5 = 5 - \frac{1}{5} = \frac{24}{5}$
• $n=6: z_6 = 6 - \frac{1}{6} = \frac{35}{6}$
• $n=7: z_7 = 7 - \frac{1}{7} = \frac{48}{7}$
• $n=8: z_8 = 8 - \frac{1}{8} = \frac{63}{8}$
• $n=9: z_9 = 9 - \frac{1}{9} = \frac{80}{9}$
• $n=10: z_{10} = 10 - \frac{1}{10} = \frac{99}{10}$

Ответ: $0; \frac{3}{2}; \frac{8}{3}; \frac{15}{4}; \frac{24}{5}; \frac{35}{6}; \frac{48}{7}; \frac{63}{8}; \frac{80}{9}; \frac{99}{10}$.

Сколько таких членов?

Количество натуральных номеров $n$ от 1 до 10 включительно равно 10.

Ответ: 10.

352 Последовательность $(y_n)$ задана формулой $y_n = 3^{n-5}$.

1) Выпишите все члены этой последовательности, большие 0,1 и меньшие 10. Укажите номера этих членов.

2) Найдите отношения: $\frac{y_{10}}{y_9}$, $\frac{y_{100}}{y_{99}}$, $\frac{y_{k+1}}{y_k}$. Сделайте вывод.

1) Выпишите все члены этой последовательности, большие 0,1 и меньшие 10. Укажите номера этих членов.

Последовательность задана формулой $y_n = 3^{n-5}$. Нам необходимо найти все члены этой последовательности, которые удовлетворяют двойному неравенству $0,1 < y_n < 10$.

Подставим формулу для $y_n$ в неравенство:
$0,1 < 3^{n-5} < 10$.

Поскольку номер члена последовательности $n$ является натуральным числом ($n \in N$), мы можем найти искомые члены, вычисляя значения $y_n$ для $n=1, 2, 3, \dots$:
При $n=1$: $y_1 = 3^{1-5} = 3^{-4} = \frac{1}{81} \approx 0,012$. Это значение меньше 0,1.
При $n=2$: $y_2 = 3^{2-5} = 3^{-3} = \frac{1}{27} \approx 0,037$. Это значение меньше 0,1.
При $n=3$: $y_3 = 3^{3-5} = 3^{-2} = \frac{1}{9}$. Так как $0,1 < \frac{1}{9} \approx 0,111 < 10$, этот член подходит.
При $n=4$: $y_4 = 3^{4-5} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$. Так как $0,1 < \frac{1}{3} < 10$, этот член подходит.
При $n=5$: $y_5 = 3^{5-5} = 3^{0} = 1$. Так как $0,1 < 1 < 10$, этот член подходит.
При $n=6$: $y_6 = 3^{6-5} = 3^{1} = 3$. Так как $0,1 < 3 < 10$, этот член подходит.
При $n=7$: $y_7 = 3^{7-5} = 3^{2} = 9$. Так как $0,1 < 9 < 10$, этот член подходит.
При $n=8$: $y_8 = 3^{8-5} = 3^{3} = 27$. Это значение больше 10.

Так как основание степени $3>1$, последовательность $y_n$ является возрастающей. Это значит, что все члены с номерами $n \ge 8$ будут больше 10. Следовательно, мы нашли все подходящие члены.

Ответ: Члены последовательности, удовлетворяющие условию: $y_3 = \frac{1}{9}$, $y_4 = \frac{1}{3}$, $y_5 = 1$, $y_6 = 3$, $y_7 = 9$. Номера этих членов: 3, 4, 5, 6, 7.

2) Найдите отношения: $\frac{y_{10}}{y_9}$, $\frac{y_{100}}{y_{99}}$, $\frac{y_{k+1}}{y_k}$. Сделайте вывод.

Для нахождения указанных отношений воспользуемся формулой $y_n = 3^{n-5}$ и свойством степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Вычислим первое отношение:
$\frac{y_{10}}{y_9} = \frac{3^{10-5}}{3^{9-5}} = \frac{3^5}{3^4} = 3^{5-4} = 3^1 = 3$.

Вычислим второе отношение:
$\frac{y_{100}}{y_{99}} = \frac{3^{100-5}}{3^{99-5}} = \frac{3^{95}}{3^{94}} = 3^{95-94} = 3^1 = 3$.

Вычислим третье отношение для произвольного натурального $k$:
$\frac{y_{k+1}}{y_k} = \frac{3^{(k+1)-5}}{3^{k-5}} = \frac{3^{k-4}}{3^{k-5}} = 3^{(k-4)-(k-5)} = 3^{k-4-k+5} = 3^1 = 3$.

Вывод: Отношение любого члена последовательности к предыдущему члену является постоянной величиной, равной 3. По определению, это означает, что последовательность $(y_n)$ является геометрической прогрессией со знаменателем $q=3$.

Ответ: $\frac{y_{10}}{y_9} = 3$; $\frac{y_{100}}{y_{99}} = 3$; $\frac{y_{k+1}}{y_k} = 3$. Вывод: последовательность $(y_n)$ является геометрической прогрессией со знаменателем $q=3$.

353 Найдите первые шесть членов последовательности и опишите её словами:

а) $b_n = (-1)^n$;

б) $x_n = \frac{(-1)^{n+1}}{10}$;

в) $y_n = (-1)^{n+1} + 1$;

г) $a_n = (-1)^n \cdot n$.

а)

Для последовательности, заданной формулой $b_n = (-1)^n$, найдем первые шесть членов, подставляя значения $n$ от 1 до 6:

$b_1 = (-1)^1 = -1$

$b_2 = (-1)^2 = 1$

$b_3 = (-1)^3 = -1$

$b_4 = (-1)^4 = 1$

$b_5 = (-1)^5 = -1$

$b_6 = (-1)^6 = 1$

Первые шесть членов последовательности: -1, 1, -1, 1, -1, 1.

Описание словами: эта последовательность состоит из чередующихся чисел -1 и 1. Члены последовательности с нечетными номерами равны -1, а с четными номерами — 1.

Ответ: -1, 1, -1, 1, -1, 1. Последовательность состоит из чередующихся чисел -1 и 1, начиная с -1.

б)

Для последовательности, заданной формулой $x_n = \frac{(-1)^{n+1}}{10}$, найдем первые шесть членов:

$x_1 = \frac{(-1)^{1+1}}{10} = \frac{(-1)^2}{10} = \frac{1}{10} = 0.1$

$x_2 = \frac{(-1)^{2+1}}{10} = \frac{(-1)^3}{10} = -\frac{1}{10} = -0.1$

$x_3 = \frac{(-1)^{3+1}}{10} = \frac{(-1)^4}{10} = \frac{1}{10} = 0.1$

$x_4 = \frac{(-1)^{4+1}}{10} = \frac{(-1)^5}{10} = -\frac{1}{10} = -0.1$

$x_5 = \frac{(-1)^{5+1}}{10} = \frac{(-1)^6}{10} = \frac{1}{10} = 0.1$

$x_6 = \frac{(-1)^{6+1}}{10} = \frac{(-1)^7}{10} = -\frac{1}{10} = -0.1$

Первые шесть членов последовательности: 0.1, -0.1, 0.1, -0.1, 0.1, -0.1.

Описание словами: эта последовательность состоит из чередующихся чисел 0.1 и -0.1. Члены последовательности с нечетными номерами равны 0.1, а с четными номерами — -0.1.

Ответ: 0.1, -0.1, 0.1, -0.1, 0.1, -0.1. Последовательность состоит из чередующихся чисел 0.1 и -0.1, начиная с 0.1.

в)

Для последовательности, заданной формулой $y_n = (-1)^{n+1} + 1$, найдем первые шесть членов:

$y_1 = (-1)^{1+1} + 1 = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$

$y_2 = (-1)^{2+1} + 1 = (-1)^3 + 1 = -1 + 1 = 0$

$y_3 = (-1)^{3+1} + 1 = (-1)^4 + 1 = 1 + 1 = 2$

$y_4 = (-1)^{4+1} + 1 = (-1)^5 + 1 = -1 + 1 = 0$

$y_5 = (-1)^{5+1} + 1 = (-1)^6 + 1 = 1 + 1 = 2$

$y_6 = (-1)^{6+1} + 1 = (-1)^7 + 1 = -1 + 1 = 0$

Первые шесть членов последовательности: 2, 0, 2, 0, 2, 0.

Описание словами: эта последовательность состоит из чередующихся чисел 2 и 0. Члены последовательности с нечетными номерами равны 2, а с четными номерами — 0.

Ответ: 2, 0, 2, 0, 2, 0. Последовательность состоит из чередующихся чисел 2 и 0, начиная с 2.

г)

Для последовательности, заданной формулой $a_n = (-1)^n \cdot n$, найдем первые шесть членов:

$a_1 = (-1)^1 \cdot 1 = -1$

$a_2 = (-1)^2 \cdot 2 = 2$

$a_3 = (-1)^3 \cdot 3 = -3$

$a_4 = (-1)^4 \cdot 4 = 4$

$a_5 = (-1)^5 \cdot 5 = -5$

$a_6 = (-1)^6 \cdot 6 = 6$

Первые шесть членов последовательности: -1, 2, -3, 4, -5, 6.

Описание словами: эта последовательность состоит из натуральных чисел с чередующимися знаками. Модуль n-го члена равен n. Члены с нечетными номерами отрицательны, а с четными — положительны.

Ответ: -1, 2, -3, 4, -5, 6. Последовательность натуральных чисел с чередующимися знаками, где нечетные члены отрицательны, а четные положительны.