Страница 139 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

370 Фигуры составлены из квадратов, как показано на рисунке 4.5. Сколько квадратов должно быть в фигуре под номером 40, если эта закономерность сохранится?

Рис. 4.5

Для решения задачи проанализируем последовательность фигур и определим закономерность изменения количества квадратов. Обозначим номер фигуры как $n$, а количество квадратов в ней как $K_n$.

Посчитаем количество квадратов для первых трех фигур, показанных на рисунке:

• Для фигуры с номером $n=1$, количество квадратов $K_1 = 5$.
• Для фигуры с номером $n=2$, количество квадратов $K_2 = 7$.
• Для фигуры с номером $n=3$, количество квадратов $K_3 = 9$.

Можно заметить, что количество квадратов в каждой следующей фигуре увеличивается на 2. Таким образом, последовательность количеств квадратов 5, 7, 9, ... представляет собой арифметическую прогрессию. Первый член этой прогрессии $a_1 = 5$, а разность прогрессии $d = 2$.

Для нахождения количества квадратов в фигуре с любым номером $n$ можно вывести общую формулу. Существует два способа.

Способ 1: Использование формулы арифметической прогрессии.
Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения в формулу, чтобы найти количество квадратов $K_n$ для фигуры с номером $n$:
$K_n = 5 + (n-1) \times 2 = 5 + 2n - 2 = 2n + 3$.

Способ 2: Анализ структуры фигуры.
Каждая фигура состоит из центрального горизонтального ряда и двух квадратов, примыкающих к нему сверху и снизу. Длина горизонтального ряда для фигуры с номером $n$ составляет $2n+1$ квадратов.

• При $n=1$, длина ряда $2 \times 1 + 1 = 3$ квадрата.
• При $n=2$, длина ряда $2 \times 2 + 1 = 5$ квадратов.
• При $n=3$, длина ряда $2 \times 3 + 1 = 7$ квадратов.

Тогда общее количество квадратов $K_n$ в фигуре $n$ равно сумме квадратов в горизонтальном ряду и двух дополнительных квадратов: $K_n = (2n+1) + 2 = 2n + 3$.

Обе формулы совпадают. Теперь, используя полученную формулу $K_n = 2n + 3$, найдем количество квадратов в фигуре под номером 40. Для этого подставим $n=40$:

$K_{40} = 2 \times 40 + 3 = 80 + 3 = 83$.

Таким образом, в фигуре под номером 40 должно быть 83 квадрата.

Ответ: 83

371 Является ли членом арифметической прогрессии $1; 8; 15; 22; \dots$ число 88? число 99? Если является, то укажите его номер.

Чтобы определить, являются ли указанные числа членами арифметической прогрессии 1; 8; 15; 22; ..., необходимо сначала найти её первый член ($a_1$) и разность ($d$).

Первый член прогрессии $a_1 = 1$.

Разность прогрессии — это разница между последующим и предыдущим членом: $d = 8 - 1 = 7$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Для данной прогрессии формула будет: $a_n = 1 + (n-1) \cdot 7$.

Число является членом прогрессии, если его порядковый номер $n$ является натуральным числом (т.е. целым и положительным).

число 88

Проверим, существует ли натуральное число $n$ такое, что $a_n = 88$. Подставим 88 в формулу:

$88 = 1 + (n-1) \cdot 7$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$87 = (n-1) \cdot 7$

Разделим обе части на 7:

$n - 1 = \frac{87}{7}$

$n - 1 = 12 \frac{3}{7}$

$n = 13 \frac{3}{7}$

Поскольку значение $n$ является дробным числом, а не натуральным, число 88 не является членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: нет, не является.

число 99

Теперь проверим, существует ли натуральное число $n$ такое, что $a_n = 99$.

$99 = 1 + (n-1) \cdot 7$

$99 - 1 = (n-1) \cdot 7$

$98 = (n-1) \cdot 7$

$n - 1 = \frac{98}{7}$

$n - 1 = 14$

$n = 14 + 1$

$n = 15$

Поскольку мы получили натуральное число $n=15$, число 99 является 15-м членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: да, является, его номер 15.

372 а) Между числами 6 и 30 вставьте пять чисел так, чтобы вместе с данными числами они образовывали арифметическую прогрессию.

б) Между числами –7 и 23 вставьте три числа так, чтобы они вместе с данными числами образовывали арифметическую прогрессию.

а) Пусть данные числа являются первым и последним членами арифметической прогрессии. Нам нужно вставить пять чисел, следовательно, всего в прогрессии будет $5 + 2 = 7$ членов. Пусть первый член прогрессии $a_1 = 6$, а седьмой член $a_7 = 30$. Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $d$ — разность прогрессии. Подставим наши значения:
$a_7 = a_1 + (7-1)d$
$30 = 6 + 6d$
Теперь решим уравнение, чтобы найти $d$:
$6d = 30 - 6$
$6d = 24$
$d = 4$
Теперь, зная разность, найдем пять промежуточных членов прогрессии:
$a_2 = a_1 + d = 6 + 4 = 10$
$a_3 = a_2 + d = 10 + 4 = 14$
$a_4 = a_3 + d = 14 + 4 = 18$
$a_5 = a_4 + d = 18 + 4 = 22$
$a_6 = a_5 + d = 22 + 4 = 26$
Полученная последовательность: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30.
Ответ: 10, 14, 18, 22, 26.

б) Пусть данные числа являются первым и последним членами арифметической прогрессии. Нам нужно вставить три числа, следовательно, всего в прогрессии будет $3 + 2 = 5$ членов. Пусть первый член прогрессии $a_1 = -7$, а пятый член $a_5 = 23$. Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим наши значения:
$a_5 = a_1 + (5-1)d$
$23 = -7 + 4d$
Решим уравнение, чтобы найти $d$:
$4d = 23 - (-7)$
$4d = 30$
$d = \frac{30}{4} = 7.5$
Теперь, зная разность, найдем три промежуточных члена прогрессии:
$a_2 = a_1 + d = -7 + 7.5 = 0.5$
$a_3 = a_2 + d = 0.5 + 7.5 = 8$
$a_4 = a_3 + d = 8 + 7.5 = 15.5$
Полученная последовательность: -7, 0.5, 8, 15.5, 23.
Ответ: 0.5, 8, 15.5.

373 Первые шесть членов арифметической прогрессии $(a_n)$ изображены точками на координатной плоскости (рис. 4.6, а, б). Найдите $a_1$ и $d$. Запишите уравнение линии, на которой лежат отмеченные точки.

Puc. 4.6

а

б

Точки на графиках представляют собой члены арифметической прогрессии $(a_n)$, где абсцисса точки - это номер члена $n$ (начиная с $n=1$), а ордината - значение этого члена $a_n$. Таким образом, точки имеют координаты $(n, a_n)$.

Рассмотрим график 'а'.

1. Найдем $a_1$ и $d$.
Первая точка на графике соответствует первому члену прогрессии ($n=1$). Ее координаты $(1, -2)$. Следовательно, первый член прогрессии $a_1 = -2$.
Вторая точка соответствует второму члену ($n=2$) и имеет координаты $(2, -1)$. Следовательно, $a_2 = -1$.
Разность арифметической прогрессии $d$ можно найти как разность между последующим и предыдущим членами: $d = a_2 - a_1$.
$d = -1 - (-2) = -1 + 2 = 1$.
Для проверки можно взять третью точку $(3, 0)$, тогда $a_3 = 0$, и $d = a_3 - a_2 = 0 - (-1) = 1$. Разность постоянна.

2. Запишем уравнение линии.
Точки, представляющие члены арифметической прогрессии, лежат на одной прямой. Уравнение этой прямой можно получить из формулы $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим найденные значения $a_1 = -2$ и $d = 1$:
$a_n = -2 + (n-1) \cdot 1 = -2 + n - 1 = n - 3$.
Поскольку на координатной плоскости $x$ соответствует номеру члена $n$, а $y$ - его значению $a_n$, то уравнение линии имеет вид: $y = x - 3$.

Ответ: $a_1 = -2$, $d = 1$, уравнение линии: $y = x - 3$.

Рассмотрим график 'б'.

1. Найдем $a_1$ и $d$.
Первая точка на графике ($n=1$) имеет координаты $(1, 3)$. Следовательно, $a_1 = 3$.
Вторая точка ($n=2$) имеет координаты $(2, 2)$. Следовательно, $a_2 = 2$.
Найдем разность прогрессии $d$:
$d = a_2 - a_1 = 2 - 3 = -1$.
Проверим по третьей точке $(3, 1)$: $a_3 = 1$, $d = a_3 - a_2 = 1 - 2 = -1$. Разность постоянна.

2. Запишем уравнение линии.
Используем формулу $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим найденные значения $a_1 = 3$ и $d = -1$:
$a_n = 3 + (n-1) \cdot (-1) = 3 - n + 1 = 4 - n$.
Заменяя $n$ на $x$ и $a_n$ на $y$, получаем уравнение линии: $y = 4 - x$, или $y = -x + 4$.

Ответ: $a_1 = 3$, $d = -1$, уравнение линии: $y = -x + 4$.

374 Самолёт начал снижение на высоте 8000 м и первые десять минут снижался на 500 м в минуту.

а) Запишите формулу для вычисления высоты $h_n$, на которой окажется самолёт через $n$ минут после начала снижения.

б) На какой высоте будет самолёт через 7 мин после начала снижения?

в) На какой минуте самолёт окажется ниже 3000 м над уровнем земли?

г) Изобразите точками на координатной плоскости первые десять членов последовательности $(h_n)$.

а) Изначальная высота самолёта составляет $h_0 = 8000$ м. Скорость снижения постоянна и равна 500 м в минуту. Это означает, что за $n$ минут самолёт снизится на $500 \times n$ метров. Высота $h_n$ через $n$ минут после начала снижения будет равна начальной высоте минус общее снижение. Таким образом, формула для вычисления высоты:

$h_n = 8000 - 500n$

Данная последовательность является арифметической прогрессией, где $h_0 = 8000$ (высота в момент $n=0$), а разность прогрессии $d = -500$.
Ответ: Формула для вычисления высоты: $h_n = 8000 - 500n$, где $n$ — количество минут после начала снижения.

б) Чтобы найти высоту самолёта через 7 минут после начала снижения, нужно подставить $n=7$ в формулу, полученную в пункте а).

$h_7 = 8000 - 500 \times 7 = 8000 - 3500 = 4500$ м.

Ответ: Через 7 минут самолёт будет на высоте 4500 м.

в) Чтобы найти, на какой минуте самолёт окажется ниже 3000 м, составим и решим неравенство $h_n < 3000$:

$8000 - 500n < 3000$

Вычтем 8000 из обеих частей неравенства:

$-500n < 3000 - 8000$

$-500n < -5000$

Разделим обе части на -500. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$n > \frac{-5000}{-500}$

$n > 10$

Неравенство $n > 10$ означает, что высота станет ниже 3000 м после 10-й минуты. Наименьшее целое число минут, удовлетворяющее этому условию, — это 11. Проверим: на конец 10-й минуты высота равна $h_{10} = 8000 - 500 \times 10 = 3000$ м. Сразу после этого момента высота становится меньше 3000 м. Это происходит в течение 11-й минуты.

Ответ: Самолёт окажется ниже 3000 м над уровнем земли на 11-й минуте.

г) Для построения графика нужно вычислить значения высоты $h_n$ для первых десяти минут (от $n=1$ до $n=10$).

• $h_1 = 8000 - 500(1) = 7500$
• $h_2 = 8000 - 500(2) = 7000$
• $h_3 = 8000 - 500(3) = 6500$
• $h_4 = 8000 - 500(4) = 6000$
• $h_5 = 8000 - 500(5) = 5500$
• $h_6 = 8000 - 500(6) = 5000$
• $h_7 = 8000 - 500(7) = 4500$
• $h_8 = 8000 - 500(8) = 4000$
• $h_9 = 8000 - 500(9) = 3500$
• $h_{10} = 8000 - 500(10) = 3000$

Теперь изобразим точки с координатами $(n, h_n)$ на координатной плоскости, где по оси абсцисс отложено время $n$ в минутах, а по оси ординат — высота $h_n$ в метрах.

Ответ: Точки, представляющие первые десять членов последовательности высот, изображены на координатной плоскости выше. Они лежат на одной прямой.

375 В школе-новостройке сейчас учатся 200 учеников. Допустим, что каждый год число учащихся будет увеличиваться на 20 человек.

а) Запишите формулу для вычисления числа учащихся в школе через n лет.

б) Школа рассчитана на обучение 340 учащихся. Через сколько лет будет достигнута норма?

в) Покажите на столбчатой диаграмме прирост числа учащихся в течение пяти лет.

а) Запишите формулу для вычисления числа учащихся в школе через n лет.

Пусть $U(n)$ — это число учащихся в школе через $n$ лет. Изначальное количество учеников составляет 200. Каждый год это число увеличивается на 20. Таким образом, общий прирост за $n$ лет составит $20 \times n$. Формула для вычисления общего числа учащихся через $n$ лет будет суммой начального количества и годового прироста, умноженного на количество лет:

$U(n) = 200 + 20n$

Ответ: $U(n) = 200 + 20n$

б) Школа рассчитана на обучение 340 учащихся. Через сколько лет будет достигнута норма?

Чтобы найти, через сколько лет будет достигнута норма в 340 учащихся, нужно подставить это значение в формулу, полученную в пункте а), и решить уравнение относительно $n$:

$340 = 200 + 20n$

Сначала вычтем 200 из обеих частей уравнения:

$340 - 200 = 20n$

$140 = 20n$

Теперь разделим обе части на 20, чтобы найти $n$:

$n = \frac{140}{20}$

$n = 7$

Норма в 340 учащихся будет достигнута через 7 лет.

Ответ: Через 7 лет.

в) Покажите на столбчатой диаграмме прирост числа учащихся в течение пяти лет.

Сначала рассчитаем общее число учащихся для каждого года в течение первых пяти лет:

• Через 1 год: $U(1) = 200 + 20 \times 1 = 220$ учеников
• Через 2 года: $U(2) = 200 + 20 \times 2 = 240$ учеников
• Через 3 года: $U(3) = 200 + 20 \times 3 = 260$ учеников
• Через 4 года: $U(4) = 200 + 20 \times 4 = 280$ учеников
• Через 5 лет: $U(5) = 200 + 20 \times 5 = 300$ учеников

Ответ: Ниже представлена столбчатая диаграмма, показывающая рост числа учащихся за 5 лет.