Страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

385 Фигура, изображённая на рисунке 4.8, состоит из столбцов, каждый из которых на 2 единицы выше предыдущего. Основание каждого столбца равно 1.

Рис. 4.8

1) Найдите площадь фигуры (в кв. ед.), если в ней 8 столбцов; 20 столбцов; $n$ столбцов.

2) Сколько всего столбцов в фигуре, если её площадь равна 100 кв. ед.?

Для решения задачи сначала выведем общую формулу для площади фигуры, состоящей из $n$ столбцов. Из условия задачи и рисунка следует, что высота каждого следующего столбца на 2 единицы больше предыдущего, а высота первого столбца равна 2. Таким образом, высоты столбцов образуют арифметическую прогрессию: 2, 4, 6, 8, ... Высота $k$-го столбца $h_k$ определяется по формуле $h_k = 2k$. Основание каждого столбца равно 1. Следовательно, площадь $k$-го столбца равна его высоте: $A_k = 1 \cdot h_k = 2k$. Общая площадь фигуры $S_n$, состоящей из $n$ столбцов, — это сумма площадей всех столбцов: $S_n = A_1 + A_2 + \dots + A_n = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + \dots + 2 \cdot n = 2(1 + 2 + \dots + n)$. Сумма первых $n$ натуральных чисел вычисляется по формуле $\frac{n(n+1)}{2}$. Подставив это в наше выражение, получим формулу для площади фигуры: $S_n = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$.

1) Теперь, используя выведенную формулу $S_n = n(n+1)$, найдем площадь фигуры для заданного количества столбцов.
- Если в фигуре 8 столбцов ($n=8$):
$S_8 = 8 \cdot (8+1) = 8 \cdot 9 = 72$ кв. ед.
- Если в фигуре 20 столбцов ($n=20$):
$S_{20} = 20 \cdot (20+1) = 20 \cdot 21 = 420$ кв. ед.
- Если в фигуре n столбцов:
Площадь выражается формулой $S_n = n(n+1)$ кв. ед.
Ответ: 72 кв. ед.; 420 кв. ед.; $n(n+1)$ кв. ед.

2) Найдем, сколько всего столбцов в фигуре, если её площадь равна 100 кв. ед.
Нам нужно найти такое натуральное число $n$, для которого $S_n = 100$. Составим уравнение, используя нашу формулу: $n(n+1) = 100$
$n^2 + n - 100 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $n$. Найдем его корни с помощью дискриминанта. $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100) = 1 + 400 = 401$. Так как $D=401$, то $\sqrt{D} = \sqrt{401}$. Это иррациональное число, поскольку $20^2 = 400$ и $21^2 = 441$. Корни уравнения: $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{401}}{2}$. Поскольку количество столбцов $n$ должно быть положительным целым числом, а корни уравнения не являются целыми числами, то не существует такой фигуры с целым числом столбцов, площадь которой была бы равна 100 кв. ед.
Можно также проверить это, сравнив площади для ближайших целых значений $n$:
При $n=9$, площадь $S_9 = 9(9+1) = 90$ кв. ед. (меньше 100).
При $n=10$, площадь $S_{10} = 10(10+1) = 110$ кв. ед. (больше 100).
Поскольку площадь фигуры увеличивается с ростом числа столбцов, это подтверждает, что площадь ровно 100 кв. ед. не может быть достигнута при целом числе столбцов.
Ответ: Не существует такого целого количества столбцов, при котором площадь фигуры была бы равна 100 кв. ед.

386 Найдите сумму всех двузначных чисел, не кратных 5.

Для решения задачи мы найдем сумму всех двузначных чисел, а затем вычтем из нее сумму всех двузначных чисел, которые кратны 5. Результатом будет искомая сумма.

1. Найдем сумму всех двузначных чисел. Двузначные числа представляют собой арифметическую прогрессию от 10 до 99. Первый член прогрессии $a_1 = 10$. Последний член прогрессии $a_n = 99$. Количество двузначных чисел: $n = 99 - 10 + 1 = 90$. Сумма арифметической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$. Подставим значения:
$S_{всех} = \frac{(10 + 99) \cdot 90}{2} = \frac{109 \cdot 90}{2} = 109 \cdot 45 = 4905$.

2. Найдем сумму всех двузначных чисел, кратных 5. Эти числа также образуют арифметическую прогрессию: 10, 15, 20, ..., 95. Первый член этой прогрессии $b_1 = 10$. Последний член $b_m = 95$. Чтобы найти количество членов $m$, воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $b_m = b_1 + (m-1)d$, где разность $d=5$:
$95 = 10 + (m-1) \cdot 5$
$85 = (m-1) \cdot 5$
$17 = m-1$
$m = 18$. Теперь найдем сумму этой прогрессии:
$S_{кратных\;5} = \frac{(b_1 + b_m) \cdot m}{2} = \frac{(10 + 95) \cdot 18}{2} = \frac{105 \cdot 18}{2} = 105 \cdot 9 = 945$.

3. Найдем искомую сумму. Для этого вычтем из суммы всех двузначных чисел сумму тех из них, что кратны 5:
$S_{искомая} = S_{всех} - S_{кратных\;5} = 4905 - 945 = 3960$.

Ответ: 3960

387 В первом ряду лекционной аудитории 20 мест, а в каждом следующем ряду на 4 места больше, чем в предыдущем. В аудитории 16 рядов. Сколько всего мест в аудитории?

Данная задача описывает арифметическую прогрессию, где количество мест в каждом ряду является членом прогрессии.

Определим параметры этой прогрессии на основе условия задачи:
Первый член прогрессии $a_1$ — это количество мест в первом ряду, то есть $a_1 = 20$.
Разность прогрессии $d$ — это число, на которое увеличивается количество мест в каждом следующем ряду, то есть $d = 4$.
Количество членов прогрессии $n$ — это общее число рядов, то есть $n = 16$.

Чтобы найти общее количество мест в аудитории, необходимо вычислить сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии. Формула для суммы $S_n$ выглядит следующим образом:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим известные значения в эту формулу:
$a_1 = 20$, $d = 4$, $n = 16$.
$S_{16} = \frac{2 \cdot 20 + 4 \cdot (16 - 1)}{2} \cdot 16$

Теперь выполним вычисления:
$S_{16} = \frac{40 + 4 \cdot 15}{2} \cdot 16$
$S_{16} = \frac{40 + 60}{2} \cdot 16$
$S_{16} = \frac{100}{2} \cdot 16$
$S_{16} = 50 \cdot 16$
$S_{16} = 800$

Таким образом, общее количество мест в лекционной аудитории составляет 800.

Ответ: 800.

388 В амфитеатре концертного зала 15 рядов, и число кресел в каждом ряду увеличивается на 2 по сравнению с предыдущим. В последнем ряду 35 кресел. Сколько всего кресел в амфитеатре?

Количество кресел в каждом ряду амфитеатра представляет собой арифметическую прогрессию. Обозначим количество кресел в n-ном ряду как $a_n$.

Из условия задачи нам дано:

Общее количество рядов: $n = 15$.

Число кресел в каждом ряду увеличивается на 2 по сравнению с предыдущим, что является разностью арифметической прогрессии: $d = 2$.

В последнем, 15-м, ряду 35 кресел: $a_{15} = 35$.

Чтобы найти общее количество кресел, нам нужно найти сумму первых 15 членов этой арифметической прогрессии ($S_{15}$).

Шаг 1: Находим количество кресел в первом ряду ($a_1$).

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим известные нам значения для 15-го ряда:

$a_{15} = a_1 + (15-1) \cdot 2$

$35 = a_1 + 14 \cdot 2$

$35 = a_1 + 28$

Теперь найдем $a_1$:

$a_1 = 35 - 28$

$a_1 = 7$

Таким образом, в первом ряду 7 кресел.

Шаг 2: Находим общее количество кресел в амфитеатре ($S_{15}$).

Используем формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Подставим значения для нашей задачи ($n=15$, $a_1=7$, $a_{15}=35$):

$S_{15} = \frac{7 + 35}{2} \cdot 15$

$S_{15} = \frac{42}{2} \cdot 15$

$S_{15} = 21 \cdot 15$

$S_{15} = 315$

Ответ: 315.

389 Продолжительность прогулки грудного ребёнка в первый день составляет 20 мин. Затем она увеличивается ежедневно на 10 мин и доводится до 2 ч в день. На какой по счёту день длительность прогулки составит 2 ч, и сколько всего времени за эти дни ребёнок проведёт на воздухе?

На какой по счёту день длительность прогулки составит 2 ч

Последовательность продолжительности прогулок представляет собой арифметическую прогрессию. Определим её параметры:
- Первый член прогрессии (продолжительность в первый день): $a_1 = 20$ мин.
- Разность прогрессии (ежедневное увеличение): $d = 10$ мин.
- Конечная продолжительность прогулки, или n-й член прогрессии: $a_n = 2$ ч.

Для проведения расчётов необходимо привести все величины к единой единице измерения, например, к минутам.
$a_n = 2 \text{ ч} = 2 \times 60 = 120$ мин.

Чтобы найти, на какой по счёту день ($n$) длительность прогулки достигнет 120 минут, используем формулу n-го члена арифметической прогрессии:
$a_n = a_1 + (n-1)d$

Подставим в формулу известные нам значения и найдём $n$:
$120 = 20 + (n-1) \cdot 10$
$120 - 20 = (n-1) \cdot 10$
$100 = (n-1) \cdot 10$
$n-1 = \frac{100}{10}$
$n-1 = 10$
$n = 11$

Таким образом, продолжительность прогулки достигнет 2 часов на 11-й день.

Ответ: на 11-й день.

Cколько всего времени за эти дни ребёнок проведёт на воздухе

Чтобы найти общее время, которое ребёнок проведёт на воздухе за все эти дни, нужно найти сумму первых $n=11$ членов нашей арифметической прогрессии.

Для этого воспользуемся формулой суммы первых n членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Нам известны все необходимые значения:
$a_1 = 20$ мин, $a_{11} = 120$ мин, $n = 11$.

Подставляем их в формулу:
$S_{11} = \frac{20 + 120}{2} \cdot 11$
$S_{11} = \frac{140}{2} \cdot 11$
$S_{11} = 70 \cdot 11$
$S_{11} = 770$ мин

Общее время, проведённое на воздухе, составляет 770 минут. Для наглядности переведём это время в часы и минуты:
$770 \text{ мин} = \lfloor \frac{770}{60} \rfloor \text{ ч } + (770 \pmod{60}) \text{ мин} = 12 \text{ ч } 50 \text{ мин}$.

Ответ: 12 часов 50 минут.

390 Игорь начал утренние тренировки в беге с 2 км в день. Он решил каждую неделю увеличивать эту дистанцию в арифметической прогрессии так, чтобы в одиннадцатую неделю пробегать по 4 км в день. На какое расстояние ему надо увеличивать дистанцию еженедельно? Сколько всего километров он пробежит за 11 недель?

На какое расстояние ему надо увеличивать дистанцию еженедельно?
Данная задача описывает арифметическую прогрессию, где каждый член $a_n$ — это дистанция, которую Игорь пробегает ежедневно на n-й неделе. Нам даны следующие значения:
- дистанция в первую неделю (первый член прогрессии): $a_1 = 2$ км.
- дистанция в одиннадцатую неделю (одиннадцатый член прогрессии): $a_{11} = 4$ км.
- количество недель: $n = 11$.
Еженедельное увеличение дистанции — это разность арифметической прогрессии $d$. Для нахождения $d$ воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные нам значения:
$a_{11} = a_1 + (11-1)d$
$4 = 2 + 10d$
Решим полученное уравнение:
$10d = 4 - 2$
$10d = 2$
$d = \frac{2}{10} = 0.2$ км.
Таким образом, каждую неделю Игорь должен увеличивать дневную дистанцию на 0.2 км (или 200 метров).
Ответ: на 0.2 км.

Сколько всего километров он пробежит за 11 недель?
Чтобы найти общее расстояние за 11 недель, нужно сначала рассчитать суммарную дистанцию за все дни. Поскольку в неделе 7 дней, а дистанция $a_n$ указана на один день, то за n-ю неделю Игорь пробегает $7 \cdot a_n$ км.
Общее расстояние за 11 недель будет равно сумме расстояний за каждую неделю: $7a_1 + 7a_2 + ... + 7a_{11} = 7 \cdot (a_1 + a_2 + ... + a_{11})$.
Выражение в скобках — это сумма первых 11 членов арифметической прогрессии $S_{11}$.
Вычислим $S_{11}$ по формуле суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
$S_{11} = \frac{a_1 + a_{11}}{2} \cdot 11$
$S_{11} = \frac{2 + 4}{2} \cdot 11$
$S_{11} = \frac{6}{2} \cdot 11 = 3 \cdot 11 = 33$.
Теперь умножим эту сумму на 7, чтобы получить общее расстояние за все дни 11 недель:
Общее расстояние = $S_{11} \times 7 = 33 \times 7 = 231$ км.
Ответ: 231 км.

391 Премиальный фонд, составляющий 10 000 р., надо разделить между десятью сотрудниками так, чтобы каждый следующий в списке, составленном руководителем, получил на 150 р. больше предыдущего. Как это сделать?

Размеры премий для десяти сотрудников представляют собой последовательные члены арифметической прогрессии. В этой прогрессии нам известны количество членов, их сумма и разность.

Введем следующие обозначения для параметров задачи:
$S_n$ — общая сумма премиального фонда, то есть сумма арифметической прогрессии. $S_n = 10000$ р.
$n$ — количество сотрудников, то есть число членов прогрессии. $n = 10$.
$d$ — разность прогрессии, то есть сумма, на которую премия каждого следующего сотрудника больше предыдущей. $d = 150$ р.
$a_1$ — размер премии первого сотрудника, который нам предстоит найти.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Чтобы найти размер премии первого сотрудника ($a_1$), подставим в формулу известные значения и решим полученное уравнение: $10000 = \frac{2a_1 + 150 \cdot (10-1)}{2} \cdot 10$

Последовательно упростим уравнение:
$10000 = \frac{2a_1 + 150 \cdot 9}{2} \cdot 10$
Разделим обе части уравнения на 10:
$1000 = \frac{2a_1 + 1350}{2}$
Умножим обе части на 2:
$2000 = 2a_1 + 1350$
Вычтем 1350 из обеих частей:
$2a_1 = 2000 - 1350$
$2a_1 = 650$
Найдем $a_1$:
$a_1 = \frac{650}{2} = 325$ р.

Таким образом, премия первого сотрудника в списке составляет 325 рублей.

Теперь мы можем рассчитать премии для всех десяти сотрудников, последовательно прибавляя по 150 рублей к предыдущему значению:
1-й сотрудник: $325$ р.
2-й сотрудник: $325 + 150 = 475$ р.
3-й сотрудник: $475 + 150 = 625$ р.
4-й сотрудник: $625 + 150 = 775$ р.
5-й сотрудник: $775 + 150 = 925$ р.
6-й сотрудник: $925 + 150 = 1075$ р.
7-й сотрудник: $1075 + 150 = 1225$ р.
8-й сотрудник: $1225 + 150 = 1375$ р.
9-й сотрудник: $1375 + 150 = 1525$ р.
10-й сотрудник: $1525 + 150 = 1675$ р.

Для проверки можно сложить все полученные суммы:
$325 + 475 + 625 + 775 + 925 + 1075 + 1225 + 1375 + 1525 + 1675 = 10000$ р.
Общая сумма совпадает с размером премиального фонда, следовательно, расчеты верны.

Ответ: Премии сотрудникам нужно распределить в следующих размерах: 325 р., 475 р., 625 р., 775 р., 925 р., 1075 р., 1225 р., 1375 р., 1525 р. и 1675 р.

ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ

Известно, что последовательность $ (a_n) $ — арифметическая прогрессия.

1) Возьмём отрезок (часть) этой прогрессии от $a_1$ до $a_{50}$:

$a_1$; $a_2$; $a_3$; $a_4$; ...; $a_{48}$; $a_{49}$; $a_{50}$.

Сравните с суммой первого и последнего членов, т.е. с числом $a_1 + a_{50}$, суммы: $a_2 + a_{49}$, $a_4 + a_{47}$, $a_{10} + a_{41}$. Сделайте вывод.

2) Возьмём отрезок прогрессии $ (a_n) $, содержащий $n$ членов:

$a_1$; $a_2$; $a_3$; ...; $a_{n-1}$; $a_n$.

Докажите, что сумма членов, равноудалённых от концов, равна сумме первого и последнего членов.

Подсказка. Обозначьте члены прогрессии, равноудалённые от $a_1$ и $a_n$, через $a_k$ и $a_{n-k+1}$.

3) Пусть $a_5 + a_{16} = 29.5$. Найдите: $a_1 + a_{20}$; $S_{20}$.

1)

По определению арифметической прогрессии, n-й член $a_n$ можно выразить через первый член $a_1$ и разность прогрессии $d$ по формуле: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Сравним сумму первого и последнего членов отрезка прогрессии, $a_1 + a_{50}$, с заданными суммами. Выразим $a_1 + a_{50}$ через $a_1$ и $d$:
$a_1 + a_{50} = a_1 + (a_1 + (50-1)d) = 2a_1 + 49d$.

Теперь рассмотрим другие суммы и выразим их также через $a_1$ и $d$:
Сумма $a_2 + a_{49}$: $a_2 + a_{49} = (a_1 + (2-1)d) + (a_1 + (49-1)d) = (a_1 + d) + (a_1 + 48d) = 2a_1 + 49d$.
Сумма $a_4 + a_{47}$: $a_4 + a_{47} = (a_1 + (4-1)d) + (a_1 + (47-1)d) = (a_1 + 3d) + (a_1 + 46d) = 2a_1 + 49d$.
Сумма $a_{10} + a_{41}$: $a_{10} + a_{41} = (a_1 + (10-1)d) + (a_1 + (41-1)d) = (a_1 + 9d) + (a_1 + 40d) = 2a_1 + 49d$.

Все вычисленные суммы равны $2a_1 + 49d$, что в свою очередь равно $a_1 + a_{50}$.

Вывод: Сумма членов арифметической прогрессии, равноудаленных от ее концов, постоянна и равна сумме крайних членов. Это можно заметить по индексам: $1+50 = 51$, $2+49 = 51$, $4+47 = 51$, $10+41 = 51$.

Ответ: Все указанные суммы ($a_2 + a_{49}$, $a_4 + a_{47}$, $a_{10} + a_{41}$) равны между собой и равны сумме первого и последнего членов $a_1 + a_{50}$.

2)

Необходимо доказать, что для отрезка арифметической прогрессии $a_1, a_2, \dots, a_n$ сумма членов, равноудаленных от концов, равна сумме первого и последнего членов. Согласно подсказке, члены, равноудаленные от концов, это $a_k$ и $a_{n-k+1}$ для $1 \le k \le n$. Требуется доказать равенство: $a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n$.

Пусть $d$ — разность прогрессии. Используем формулу n-го члена $a_m = a_1 + (m-1)d$.

Выразим левую часть равенства через $a_1$ и $d$:
$a_k = a_1 + (k-1)d$
$a_{n-k+1} = a_1 + ((n-k+1)-1)d = a_1 + (n-k)d$
Их сумма: $a_k + a_{n-k+1} = (a_1 + (k-1)d) + (a_1 + (n-k)d) = 2a_1 + (k-1+n-k)d = 2a_1 + (n-1)d$.

Теперь выразим правую часть равенства через $a_1$ и $d$:
$a_n = a_1 + (n-1)d$
Сумма $a_1$ и $a_n$: $a_1 + a_n = a_1 + (a_1 + (n-1)d) = 2a_1 + (n-1)d$.

Поскольку левая и правая части равенства равны одному и тому же выражению $2a_1 + (n-1)d$, они равны между собой. Таким образом, $a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

3)

Дано, что $a_5 + a_{16} = 29.5$. Требуется найти $a_1 + a_{20}$ и $S_{20}$.

Рассмотрим отрезок прогрессии из 20 членов: $a_1, a_2, \dots, a_{20}$.

Используем свойство, доказанное в пункте 2: сумма членов, равноудаленных от концов, равна сумме крайних членов. Для нашего отрезка ($n=20$) это свойство записывается как $a_k + a_{20-k+1} = a_1 + a_{20}$.

Проверим, являются ли члены $a_5$ и $a_{16}$ равноудаленными от концов отрезка $a_1, \dots, a_{20}$. Для $k=5$ второй член будет $a_{20-5+1} = a_{16}$. Таким образом, $a_5$ и $a_{16}$ равноудалены от концов.

Следовательно, $a_1 + a_{20} = a_5 + a_{16}$. Так как $a_5 + a_{16} = 29.5$, то $a_1 + a_{20} = 29.5$.

Теперь найдем сумму первых 20 членов прогрессии, $S_{20}$. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

При $n=20$ имеем: $S_{20} = \frac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20$.

Подставим найденное значение суммы $a_1 + a_{20}$ в формулу:
$S_{20} = \frac{29.5}{2} \cdot 20 = 29.5 \cdot 10 = 295$.

Ответ: $a_1 + a_{20} = 29.5$; $S_{20} = 295$.