Страница 149 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

410 Периметр треугольника равен 64 см (рис. 4.12). Середины сторон этого треугольника являются вершинами второго треугольника, середины сторон второго треугольника являются вершинами третьего треугольника и т.д.

1) Найдите периметр восьмого треугольника.

2) Периметр какого по счёту треугольника равен 4 см?

Рис. 4.12

Пусть $P_1$ — периметр исходного треугольника, $P_2$ — периметр второго, $P_3$ — третьего, и так далее. По условию, $P_1 = 64$ см.

Вершины второго треугольника являются серединами сторон первого. Стороны второго треугольника являются средними линиями первого. По свойству средней линии треугольника, её длина равна половине длины стороны, которой она параллельна. Следовательно, периметр второго треугольника $P_2$ равен половине периметра первого треугольника $P_1$:

$P_2 = \frac{P_1}{2} = \frac{64}{2} = 32$ см.

Аналогично, периметр каждого следующего треугольника в два раза меньше периметра предыдущего. Таким образом, последовательность периметров $P_1, P_2, P_3, \dots, P_n$ является геометрической прогрессией с первым членом $b_1 = P_1 = 64$ и знаменателем $q = \frac{1}{2}$.

Формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

В данном случае формула для периметра n-го треугольника имеет вид: $P_n = 64 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$.

1) Найдите периметр восьмого треугольника.

Для нахождения периметра восьмого треугольника ($P_8$) подставим в формулу $n=8$:

$P_8 = 64 \cdot (\frac{1}{2})^{8-1} = 64 \cdot (\frac{1}{2})^7$

Вычислим $2^7$: $2^7 = 128$.

$P_8 = 64 \cdot \frac{1}{128} = \frac{64}{128} = \frac{1}{2} = 0,5$ см.

Ответ: 0,5 см.

2) Периметр какого по счёту треугольника равен 4 см?

Нам нужно найти номер треугольника $n$, для которого $P_n = 4$ см. Подставим известное значение периметра в формулу и решим уравнение относительно $n$:

$4 = 64 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$

Разделим обе части уравнения на 64:

$\frac{4}{64} = (\frac{1}{2})^{n-1}$

Сократим дробь:

$\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^{n-1}$

Представим $\frac{1}{16}$ в виде степени с основанием $\frac{1}{2}$. Так как $16 = 2^4$, то $\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$.

$(\frac{1}{2})^4 = (\frac{1}{2})^{n-1}$

Так как основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны:

$4 = n - 1$

$n = 4 + 1 = 5$

Следовательно, периметр пятого по счёту треугольника равен 4 см.

Ответ: пятого.

411 Середины сторон прямоугольника соединили отрезками и получили ромб. Середины сторон ромба соединили отрезками и получили прямоугольник и т.д. (рис. 4.13).

1) Чему равно отношение площадей двух соседних фигур (последующей и предыдущей)?

2) Какой фигурой — прямоугольником или ромбом является восьмой по счёту четырёхугольник? Если его площадь равна $3/4 \text{ см}^2$, то чему равна площадь исходного прямоугольника?

3) Площадь какого по счёту четырёхугольника равна $6 \text{ см}^2$? Какая это фигура — прямоугольник или ромб?

Рис. 4.13

1) Чему равно отношение площадей двух соседних фигур (последующей и предыдущей)?

Рассмотрим первый шаг: переход от прямоугольника к ромбу. Пусть стороны исходного прямоугольника равны $a$ и $b$. Его площадь $S_1 = a \cdot b$. Четырёхугольник, полученный соединением середин сторон прямоугольника, является ромбом. Его диагонали параллельны сторонам прямоугольника и равны им по длине, то есть $d_1 = a$ и $d_2 = b$. Площадь этого ромба $S_2 = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} a b$.

Отношение площади последующей фигуры (ромба) к предыдущей (прямоугольнику) равно:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\frac{1}{2}ab}{ab} = \frac{1}{2}$

Рассмотрим второй шаг: переход от ромба к прямоугольнику. Пусть диагонали ромба равны $d_1$ и $d_2$. Его площадь $S_{ромб} = \frac{1}{2} d_1 d_2$. Четырёхугольник, полученный соединением середин сторон ромба, является прямоугольником. Его стороны параллельны диагоналям ромба и равны их половинам, то есть $a_{нов} = \frac{d_1}{2}$ и $b_{нов} = \frac{d_2}{2}$. Площадь нового прямоугольника $S_{прям} = a_{нов} \cdot b_{нов} = \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} = \frac{d_1 d_2}{4}$.

Отношение площади последующей фигуры (нового прямоугольника) к предыдущей (ромбу) равно:

$\frac{S_{прям}}{S_{ромб}} = \frac{\frac{d_1 d_2}{4}}{\frac{1}{2}d_1 d_2} = \frac{1}{2}$

Таким образом, на каждом шаге площадь новой фигуры в два раза меньше площади предыдущей. Отношение площадей двух соседних фигур (последующей и предыдущей) всегда равно $\frac{1}{2}$.

Ответ: Отношение равно $\frac{1}{2}$.

2) Какой фигурой — прямоугольником или ромбом является восьмой по счёту четырёхугольник? Если его площадь равна $\frac{3}{4}$ см², то чему равна площадь исходного прямоугольника?

Последовательность фигур такова: 1-я фигура — прямоугольник, 2-я — ромб, 3-я — прямоугольник, 4-я — ромб и так далее. Фигуры с нечётными номерами являются прямоугольниками, а с чётными — ромбами. Поскольку номер 8 является чётным числом, восьмой по счёту четырёхугольник — это ромб.

Площади фигур образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q = \frac{1}{2}$. Площадь $n$-й фигуры $S_n$ связана с площадью исходного прямоугольника $S_1$ формулой $S_n = S_1 \cdot q^{n-1}$.

Для восьмого четырёхугольника ($n=8$) имеем:

$S_8 = S_1 \cdot (\frac{1}{2})^{8-1} = S_1 \cdot (\frac{1}{2})^7 = S_1 \cdot \frac{1}{128}$

По условию, $S_8 = \frac{3}{4}$ см². Подставим это значение в формулу:

$\frac{3}{4} = S_1 \cdot \frac{1}{128}$

Отсюда найдём площадь исходного прямоугольника $S_1$:

$S_1 = \frac{3}{4} \cdot 128 = 3 \cdot \frac{128}{4} = 3 \cdot 32 = 96$ см².

Ответ: Восьмой четырёхугольник является ромбом; площадь исходного прямоугольника равна 96 см².

3) Площадь какого по счёту четырёхугольника равна 6 см²? Какая это фигура — прямоугольник или ромб?

Будем исходить из того, что площадь исходного прямоугольника $S_1 = 96$ см², как было найдено в предыдущем пункте. Нам нужно найти номер $n$ фигуры, площадь которой $S_n = 6$ см². Воспользуемся той же формулой геометрической прогрессии:

$S_n = S_1 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$

Подставим известные значения:

$6 = 96 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$

Выразим $(\frac{1}{2})^{n-1}$:

$(\frac{1}{2})^{n-1} = \frac{6}{96} = \frac{1}{16}$

Поскольку $16 = 2^4$, то $\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$. Таким образом, мы имеем равенство:

$(\frac{1}{2})^{n-1} = (\frac{1}{2})^4$

Приравнивая показатели степени, получаем:

$n-1 = 4$

$n = 5$

Следовательно, пятый по счёту четырёхугольник имеет площадь 6 см². Так как номер 5 — нечётное число, эта фигура является прямоугольником.

Ответ: Пятый по счёту четырёхугольник; это прямоугольник.

412ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ

1) Проведите следующий эксперимент: возьмите любой (но не первый!) конкретный член геометрической прогрессии 2; 6; 18; 54; 162; ..., начиная со второго, и убедитесь в том, что он равен среднему геометрическому двух соседних членов. (Напомним, что среднее геометрическое двух положительных чисел a и b равно $ \sqrt{ab} $.)

2) Докажите, что это свойство справедливо для любой геометрической прогрессии, членами которой являются положительные числа.

3) Используя полученный результат, найдите обозначенные буквами члены геометрической прогрессии, знаменатель которой — положительное число:

а) $b_1$; 6; $b_3$; 24; $b_5$; $b_6$; ....

б) 243; $b_2$; 81; ....; $b_6$; 9; $b_8$; ....

1) Проведем эксперимент для геометрической прогрессии 2; 6; 18; 54; 162; ...

Возьмем, к примеру, второй член прогрессии $b_2 = 6$. Его соседние члены: $b_1 = 2$ и $b_3 = 18$.

Найдем среднее геометрическое этих двух членов: $\sqrt{b_1 \cdot b_3} = \sqrt{2 \cdot 18} = \sqrt{36} = 6$.

Полученное значение равно второму члену прогрессии, $b_2$.

Теперь возьмем четвертый член прогрессии $b_4 = 54$. Его соседи: $b_3 = 18$ и $b_5 = 162$.

Найдем среднее геометрическое этих членов: $\sqrt{b_3 \cdot b_5} = \sqrt{18 \cdot 162} = \sqrt{2916} = 54$.

Это значение равно четвертому члену, $b_4$.

Эксперимент подтверждает, что любой член геометрической прогрессии (кроме первого) равен среднему геометрическому своих соседних членов.

Ответ: Эксперимент подтвердил справедливость утверждения для данной прогрессии.

2) Докажем это свойство для любой геометрической прогрессии $(b_n)$, все члены которой являются положительными числами.

Пусть $q$ — знаменатель прогрессии. По определению геометрической прогрессии, для любого $n > 1$ справедливы равенства: $b_n = b_{n-1} \cdot q$ и $b_{n+1} = b_n \cdot q$.

Выразим $b_{n-1}$ и $b_{n+1}$ через $b_n$ и $q$:

$b_{n-1} = \frac{b_n}{q}$

$b_{n+1} = b_n \cdot q$

Найдем произведение соседних членов $b_{n-1}$ и $b_{n+1}$:

$b_{n-1} \cdot b_{n+1} = \frac{b_n}{q} \cdot (b_n \cdot q) = b_n^2$.

Мы получили равенство $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$.

Так как по условию все члены прогрессии положительны ($b_n > 0$), мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей равенства:

$b_n = \sqrt{b_{n-1} \cdot b_{n+1}}$.

Это выражение означает, что член $b_n$ является средним геометрическим своих соседей, что и требовалось доказать.

Ответ: Свойство доказано.

3) Используем доказанное свойство, согласно которому $b_n = \sqrt{b_{n-1} \cdot b_{n+1}}$, для нахождения неизвестных членов прогрессий.

а) Дана последовательность: $b_1; 6; b_3; 24; b_5; b_6; ...$

Из последовательности имеем $b_2 = 6$ и $b_4 = 24$.

Член $b_3$ является средним геометрическим своих соседей $b_2$ и $b_4$:

$b_3 = \sqrt{b_2 \cdot b_4} = \sqrt{6 \cdot 24} = \sqrt{144} = 12$.

Теперь, зная два последовательных члена ($b_2=6$ и $b_3=12$), можем найти знаменатель прогрессии $q$, который по условию является положительным числом:

$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{12}{6} = 2$.

Найдем остальные неизвестные члены:

$b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{6}{2} = 3$.

$b_5 = b_4 \cdot q = 24 \cdot 2 = 48$.

$b_6 = b_5 \cdot q = 48 \cdot 2 = 96$.

Ответ: $b_1 = 3, b_3 = 12, b_5 = 48, b_6 = 96$.

б) Дана последовательность: $243; b_2; 81; ...; b_6; 9; b_8; ...$

Из последовательности имеем $b_1 = 243$, $b_3 = 81$ и $b_7 = 9$.

Найдем член $b_2$ как среднее геометрическое его соседей $b_1$ и $b_3$:

$b_2 = \sqrt{b_1 \cdot b_3} = \sqrt{243 \cdot 81} = \sqrt{3 \cdot 81 \cdot 81} = \sqrt{3 \cdot 81^2} = 81\sqrt{3}$.

Теперь найдем знаменатель прогрессии $q$. Используем известные члены $b_1$ и $b_3$:

$b_3 = b_1 \cdot q^2 \implies q^2 = \frac{b_3}{b_1} = \frac{81}{243} = \frac{1}{3}$.

Так как по условию $q$ — положительное число, $q = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Теперь, зная $b_7 = 9$ и $q$, найдем $b_6$ и $b_8$. $b_6$ и $b_8$ — это соседи члена $b_7$.

$b_6 = \frac{b_7}{q} = \frac{9}{1/\sqrt{3}} = 9\sqrt{3}$.

$b_8 = b_7 \cdot q = 9 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$.

Ответ: $b_2 = 81\sqrt{3}, b_6 = 9\sqrt{3}, b_8 = 3\sqrt{3}$.