Номер 410, страница 149 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.4 Геометрическая прогрессия. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 410, страница 149.

410 Периметр треугольника равен 64 см (рис. 4.12). Середины сторон этого треугольника являются вершинами второго треугольника, середины сторон второго треугольника являются вершинами третьего треугольника и т.д.

1) Найдите периметр восьмого треугольника.

2) Периметр какого по счёту треугольника равен 4 см?

Рис. 4.12

Пусть $P_1$ — периметр исходного треугольника, $P_2$ — периметр второго, $P_3$ — третьего, и так далее. По условию, $P_1 = 64$ см.

Вершины второго треугольника являются серединами сторон первого. Стороны второго треугольника являются средними линиями первого. По свойству средней линии треугольника, её длина равна половине длины стороны, которой она параллельна. Следовательно, периметр второго треугольника $P_2$ равен половине периметра первого треугольника $P_1$:

$P_2 = \frac{P_1}{2} = \frac{64}{2} = 32$ см.

Аналогично, периметр каждого следующего треугольника в два раза меньше периметра предыдущего. Таким образом, последовательность периметров $P_1, P_2, P_3, \dots, P_n$ является геометрической прогрессией с первым членом $b_1 = P_1 = 64$ и знаменателем $q = \frac{1}{2}$.

Формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

В данном случае формула для периметра n-го треугольника имеет вид: $P_n = 64 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$.

1) Найдите периметр восьмого треугольника.

Для нахождения периметра восьмого треугольника ($P_8$) подставим в формулу $n=8$:

$P_8 = 64 \cdot (\frac{1}{2})^{8-1} = 64 \cdot (\frac{1}{2})^7$

Вычислим $2^7$: $2^7 = 128$.

$P_8 = 64 \cdot \frac{1}{128} = \frac{64}{128} = \frac{1}{2} = 0,5$ см.

Ответ: 0,5 см.

2) Периметр какого по счёту треугольника равен 4 см?

Нам нужно найти номер треугольника $n$, для которого $P_n = 4$ см. Подставим известное значение периметра в формулу и решим уравнение относительно $n$:

$4 = 64 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$

Разделим обе части уравнения на 64:

$\frac{4}{64} = (\frac{1}{2})^{n-1}$

Сократим дробь:

$\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^{n-1}$

Представим $\frac{1}{16}$ в виде степени с основанием $\frac{1}{2}$. Так как $16 = 2^4$, то $\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$.

$(\frac{1}{2})^4 = (\frac{1}{2})^{n-1}$

Так как основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны:

$4 = n - 1$

$n = 4 + 1 = 5$

Следовательно, периметр пятого по счёту треугольника равен 4 см.

Ответ: пятого.