Номер 404, страница 148 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.4 Геометрическая прогрессия. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 404, страница 148.

404 Последовательности заданы формулой $n$-го члена. Для каждой из них определите, является ли данная последовательность арифметической или геометрической прогрессией. Обоснуйте свой ответ:

а) $b_n = 2 \cdot 5^n$;

б) $b_n = 2 - 5n$;

в) $b_n = 2 - 5^n$;

г) $b_n = 5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n$.

а) $b_n = 2 \cdot 5^n$

Для того чтобы определить, является ли последовательность арифметической прогрессией, необходимо проверить, постоянна ли разность между последующим и предыдущим членами. Найдем разность $b_{n+1} - b_n$:
$b_{n+1} - b_n = 2 \cdot 5^{n+1} - 2 \cdot 5^n = 2 \cdot 5^n \cdot 5 - 2 \cdot 5^n = 2 \cdot 5^n(5 - 1) = 8 \cdot 5^n$.
Разность зависит от $n$, значит, она не является постоянной. Следовательно, данная последовательность не является арифметической прогрессией.

Теперь проверим, является ли последовательность геометрической прогрессией. Для этого нужно проверить, постоянно ли отношение последующего члена к предыдущему. Найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:
$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2 \cdot 5^{n+1}}{2 \cdot 5^n} = \frac{5^{n+1}}{5^n} = 5^{n+1-n} = 5$.
Отношение постоянно и равно 5. Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q=5$.
Ответ: геометрическая прогрессия.

б) $b_n = 2 - 5n$

Проверим, является ли последовательность арифметической прогрессией. Найдем разность $b_{n+1} - b_n$:
$b_{n+1} - b_n = (2 - 5(n+1)) - (2 - 5n) = 2 - 5n - 5 - 2 + 5n = -5$.
Разность постоянна и равна -5. Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=-5$.

Проверим, является ли последовательность геометрической прогрессией. Найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:
$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2 - 5(n+1)}{2 - 5n} = \frac{-3 - 5n}{2 - 5n}$.
Отношение зависит от $n$, следовательно, оно не является постоянным. Значит, последовательность не является геометрической.
Ответ: арифметическая прогрессия.

в) $b_n = 2 - 5^n$

Проверим, является ли последовательность арифметической прогрессией. Найдем разность $b_{n+1} - b_n$:
$b_{n+1} - b_n = (2 - 5^{n+1}) - (2 - 5^n) = 2 - 5^{n+1} - 2 + 5^n = 5^n - 5^{n+1} = 5^n(1-5) = -4 \cdot 5^n$.
Разность зависит от $n$, следовательно, последовательность не является арифметической прогрессией.

Проверим, является ли последовательность геометрической прогрессией. Найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:
$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2 - 5^{n+1}}{2 - 5^n}$.
Отношение зависит от $n$. Например, $b_1 = 2-5 = -3$, $b_2 = 2-25 = -23$. Отношение $\frac{b_2}{b_1} = \frac{-23}{-3} = \frac{23}{3}$.
Возьмем следующие члены: $b_3 = 2-125 = -123$. Отношение $\frac{b_3}{b_2} = \frac{-123}{-23} = \frac{123}{23}$.
Так как $\frac{23}{3} \neq \frac{123}{23}$, отношение не является постоянным. Значит, последовательность не является геометрической.
Ответ: не является ни арифметической, ни геометрической прогрессией.

г) $b_n = 5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n$

Проверим, является ли последовательность арифметической прогрессией. Найдем разность $b_{n+1} - b_n$:
$b_{n+1} - b_n = 5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} - 5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n = 5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n \cdot \frac{1}{2} - 5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n = 5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n \left(\frac{1}{2} - 1\right) = -\frac{5}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n$.
Разность зависит от $n$, следовательно, последовательность не является арифметической прогрессией.

Проверим, является ли последовательность геометрической прогрессией. Найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:
$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n} = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{\left(\frac{1}{2}\right)^n} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1-n} = \frac{1}{2}$.
Отношение постоянно и равно $\frac{1}{2}$. Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q=\frac{1}{2}$.
Ответ: геометрическая прогрессия.