Номер 398, страница 147 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.4 Геометрическая прогрессия. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 398, страница 147.

398 а) Последовательность задана условиями: $x_1 = \frac{1}{2}$, $x_{n+1} = x_n \cdot (-2)$. Определите, верно или неверно каждое из следующих утверждений относительно этой последовательности.

1) Эта последовательность — геометрическая прогрессия.

2) Все члены последовательности — отрицательные числа.

3) Второй член последовательности меньше первого.

4) Число 2 является членом этой последовательности.

5) Это убывающая последовательность.

б) Последовательность задана условиями: $x_1 = -1$, $x_{n+1} = x_n \cdot \frac{1}{2}$. Верно или неверно каждое из следующих утверждений относительно этой последовательности?

1) Все члены последовательности — положительные числа.

2) Эта последовательность — геометрическая прогрессия.

3) Второй член последовательности меньше первого.

4) Число $-\frac{1}{6}$ является членом этой последовательности.

5) Это возрастающая последовательность.

а) Последовательность задана условиями: $x_1 = \frac{1}{2}$, $x_{n+1} = x_n \cdot (-2)$.

1) Эта последовательность — геометрическая прогрессия.

Решение: По определению, последовательность является геометрической прогрессией, если каждый ее член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число (знаменатель прогрессии). В данном случае рекуррентная формула $x_{n+1} = x_n \cdot (-2)$ полностью соответствует определению геометрической прогрессии со знаменателем $q = -2$. Утверждение верно.

Ответ: Верно.

2) Все члены последовательности — отрицательные числа.

Решение: Найдем первые несколько членов последовательности: $x_1 = \frac{1}{2}$ (положительное число) $x_2 = x_1 \cdot (-2) = \frac{1}{2} \cdot (-2) = -1$ (отрицательное число) $x_3 = x_2 \cdot (-2) = -1 \cdot (-2) = 2$ (положительное число) Так как знаки членов последовательности чередуются, не все ее члены являются отрицательными. Утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

3) Второй член последовательности меньше первого.

Решение: Первый член $x_1 = \frac{1}{2}$. Второй член $x_2 = -1$. Сравним их: $-1 < \frac{1}{2}$. Утверждение верно.

Ответ: Верно.

4) Число 2 является членом этой последовательности.

Решение: Мы уже вычислили, что третий член последовательности $x_3 = 2$. Следовательно, число 2 является членом этой последовательности. Утверждение верно.

Ответ: Верно.

5) Это убывающая последовательность.

Решение: Последовательность называется убывающей, если каждый следующий ее член меньше предыдущего ($x_{n+1} < x_n$). Сравним второй и третий члены: $x_2 = -1$, $x_3 = 2$. Так как $x_3 > x_2$ ($2 > -1$), условие убывания не выполняется. Следовательно, последовательность не является убывающей. Утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

б) Последовательность задана условиями: $x_1 = -1$, $x_{n+1} = x_n \cdot \frac{1}{2}$.

1) Все члены последовательности — положительные числа.

Решение: Первый член последовательности $x_1 = -1$, что является отрицательным числом. Поскольку каждый следующий член получается умножением предыдущего на положительное число $\frac{1}{2}$, все члены последовательности будут отрицательными. Утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

2) Эта последовательность — геометрическая прогрессия.

Решение: Рекуррентная формула $x_{n+1} = x_n \cdot \frac{1}{2}$ соответствует определению геометрической прогрессии со знаменателем $q = \frac{1}{2}$. Утверждение верно.

Ответ: Верно.

3) Второй член последовательности меньше первого.

Решение: Первый член $x_1 = -1$. Второй член $x_2 = x_1 \cdot \frac{1}{2} = -1 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$. Сравним их: $-\frac{1}{2} > -1$. Утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

4) Число $-\frac{1}{6}$ является членом этой последовательности.

Решение: Общий член этой геометрической прогрессии имеет вид $x_n = x_1 \cdot q^{n-1} = -1 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} = -\frac{1}{2^{n-1}}$. Приравняем его к $-\frac{1}{6}$: $-\frac{1}{2^{n-1}} = -\frac{1}{6}$ $2^{n-1} = 6$ Поскольку не существует такого целого числа $n-1$, для которого $2^{n-1}$ равно 6 ($2^2 = 4$, $2^3 = 8$), число $-\frac{1}{6}$ не является членом данной последовательности. Утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

5) Это возрастающая последовательность.

Решение: Последовательность называется возрастающей, если каждый следующий ее член больше предыдущего ($x_{n+1} > x_n$). Найдем несколько первых членов: $x_1 = -1$, $x_2 = -\frac{1}{2}$, $x_3 = -\frac{1}{4}$. Мы видим, что $-1 < -\frac{1}{2} < -\frac{1}{4} < \dots$. Проверим общее условие: $x_{n+1} > x_n$. $x_n \cdot \frac{1}{2} > x_n$. Так как все члены последовательности $x_n$ отрицательны, при делении обеих частей неравенства на $x_n$ знак неравенства изменится: $\frac{1}{2} < 1$. Это неравенство верно. Следовательно, последовательность является возрастающей. Утверждение верно.

Ответ: Верно.