Номер 391, страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.3 Сумма первых n членов арифметической прогрессии. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 391, страница 143.

391 Премиальный фонд, составляющий 10 000 р., надо разделить между десятью сотрудниками так, чтобы каждый следующий в списке, составленном руководителем, получил на 150 р. больше предыдущего. Как это сделать?

Размеры премий для десяти сотрудников представляют собой последовательные члены арифметической прогрессии. В этой прогрессии нам известны количество членов, их сумма и разность.

Введем следующие обозначения для параметров задачи:
$S_n$ — общая сумма премиального фонда, то есть сумма арифметической прогрессии. $S_n = 10000$ р.
$n$ — количество сотрудников, то есть число членов прогрессии. $n = 10$.
$d$ — разность прогрессии, то есть сумма, на которую премия каждого следующего сотрудника больше предыдущей. $d = 150$ р.
$a_1$ — размер премии первого сотрудника, который нам предстоит найти.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Чтобы найти размер премии первого сотрудника ($a_1$), подставим в формулу известные значения и решим полученное уравнение: $10000 = \frac{2a_1 + 150 \cdot (10-1)}{2} \cdot 10$

Последовательно упростим уравнение:
$10000 = \frac{2a_1 + 150 \cdot 9}{2} \cdot 10$
Разделим обе части уравнения на 10:
$1000 = \frac{2a_1 + 1350}{2}$
Умножим обе части на 2:
$2000 = 2a_1 + 1350$
Вычтем 1350 из обеих частей:
$2a_1 = 2000 - 1350$
$2a_1 = 650$
Найдем $a_1$:
$a_1 = \frac{650}{2} = 325$ р.

Таким образом, премия первого сотрудника в списке составляет 325 рублей.

Теперь мы можем рассчитать премии для всех десяти сотрудников, последовательно прибавляя по 150 рублей к предыдущему значению:
1-й сотрудник: $325$ р.
2-й сотрудник: $325 + 150 = 475$ р.
3-й сотрудник: $475 + 150 = 625$ р.
4-й сотрудник: $625 + 150 = 775$ р.
5-й сотрудник: $775 + 150 = 925$ р.
6-й сотрудник: $925 + 150 = 1075$ р.
7-й сотрудник: $1075 + 150 = 1225$ р.
8-й сотрудник: $1225 + 150 = 1375$ р.
9-й сотрудник: $1375 + 150 = 1525$ р.
10-й сотрудник: $1525 + 150 = 1675$ р.

Для проверки можно сложить все полученные суммы:
$325 + 475 + 625 + 775 + 925 + 1075 + 1225 + 1375 + 1525 + 1675 = 10000$ р.
Общая сумма совпадает с размером премиального фонда, следовательно, расчеты верны.

Ответ: Премии сотрудникам нужно распределить в следующих размерах: 325 р., 475 р., 625 р., 775 р., 925 р., 1075 р., 1225 р., 1375 р., 1525 р. и 1675 р.