Номер 384, страница 142 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.3 Сумма первых n членов арифметической прогрессии. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 384, страница 142.

384 Найдите сумму:

а) натуральных чисел от 45 до 90;

б) всех трёхзначных чисел;

в) чётных чисел от 30 до 98;

г) нечётных чисел от 15 до 85.

а) натуральных чисел от 45 до 90;

Для нахождения суммы натуральных чисел от 45 до 90 мы воспользуемся формулой суммы членов арифметической прогрессии. Данная последовательность чисел (45, 46, 47, ..., 90) является арифметической прогрессией, так как каждый следующий член отличается от предыдущего на одну и ту же величину (разность прогрессии).
Первый член прогрессии $a_1 = 45$.
Последний член прогрессии $a_n = 90$.
Разность прогрессии $d = 1$.
Сначала найдем количество членов в этой прогрессии ($n$). Поскольку числа идут подряд, количество членов можно найти как $n = \text{последнее число} - \text{первое число} + 1$.
$n = 90 - 45 + 1 = 46$.
Теперь воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Подставим наши значения:
$S_{46} = \frac{45 + 90}{2} \cdot 46 = \frac{135}{2} \cdot 46 = 135 \cdot 23 = 3105$.
Ответ: 3105.

б) всех трёхзначных чисел;

Трёхзначные числа — это натуральные числа от 100 до 999 включительно. Эта последовательность также является арифметической прогрессией.
Первый член прогрессии $a_1 = 100$.
Последний член прогрессии $a_n = 999$.
Разность прогрессии $d = 1$.
Найдем количество трёхзначных чисел:
$n = 999 - 100 + 1 = 900$.
Вычислим сумму этих чисел по формуле суммы арифметической прогрессии:
$S_{900} = \frac{100 + 999}{2} \cdot 900 = \frac{1099}{2} \cdot 900 = 1099 \cdot 450$.
Выполним умножение: $1099 \cdot 450 = 494550$.
Ответ: 494550.

в) чётных чисел от 30 до 98;

Последовательность чётных чисел от 30 до 98 (30, 32, 34, ..., 98) является арифметической прогрессией, так как разность между любыми двумя последовательными членами постоянна.
Первый член прогрессии $a_1 = 30$.
Последний член прогрессии $a_n = 98$.
Разность прогрессии $d = 2$.
Найдем количество членов прогрессии по формуле $n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$:
$n = \frac{98 - 30}{2} + 1 = \frac{68}{2} + 1 = 34 + 1 = 35$.
Теперь вычислим сумму, используя формулу $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:
$S_{35} = \frac{30 + 98}{2} \cdot 35 = \frac{128}{2} \cdot 35 = 64 \cdot 35 = 2240$.
Ответ: 2240.

г) нечётных чисел от 15 до 85.

Последовательность нечётных чисел от 15 до 85 (15, 17, 19, ..., 85) также является арифметической прогрессией.
Первый член прогрессии $a_1 = 15$.
Последний член прогрессии $a_n = 85$.
Разность прогрессии $d = 2$.
Найдем количество членов прогрессии по формуле $n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$:
$n = \frac{85 - 15}{2} + 1 = \frac{70}{2} + 1 = 35 + 1 = 36$.
Вычислим сумму по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:
$S_{36} = \frac{15 + 85}{2} \cdot 36 = \frac{100}{2} \cdot 36 = 50 \cdot 36 = 1800$.
Ответ: 1800.