Номер 378, страница 142 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.3 Сумма первых n членов арифметической прогрессии. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 378, страница 142.

378 Найдите двумя способами сумму:

а) первых ста натуральных чётных чисел;

б) первых семидесяти натуральных нечётных чисел.

а)

Требуется найти сумму первых ста натуральных чётных чисел. Это последовательность: 2, 4, 6, ..., 200.

Способ 1: Использование формулы суммы арифметической прогрессии.

Последовательность натуральных чётных чисел представляет собой арифметическую прогрессию. В нашем случае:

• Первый член прогрессии $a_1 = 2$.
• Количество членов $n = 100$.
• Сотый член прогрессии $a_{100} = 2 \times 100 = 200$.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \times n$

Подставив наши значения, получаем:

$S_{100} = \frac{2 + 200}{2} \times 100 = \frac{202}{2} \times 100 = 101 \times 100 = 10100$.

Способ 2: Вынесение общего множителя за скобки.

Запишем искомую сумму:

$S = 2 + 4 + 6 + \dots + 200$

У каждого слагаемого есть общий множитель 2, который можно вынести за скобки:

$S = 2(1 + 2 + 3 + \dots + 100)$

В скобках получилась сумма первых 100 натуральных чисел. Для её вычисления существует формула $\frac{k(k+1)}{2}$, где $k$ — количество чисел.

В нашем случае $k=100$, поэтому сумма в скобках равна:

$\frac{100(100+1)}{2} = \frac{100 \times 101}{2} = 50 \times 101 = 5050$.

Теперь умножим результат на вынесенный множитель 2:

$S = 2 \times 5050 = 10100$.

Ответ: 10100.

б)

Требуется найти сумму первых семидесяти натуральных нечётных чисел. Это последовательность: 1, 3, 5, ...

Способ 1: Использование формулы суммы арифметической прогрессии.

Последовательность натуральных нечётных чисел также является арифметической прогрессией. В нашем случае:

• Первый член прогрессии $a_1 = 1$.
• Количество членов $n = 70$.
• Семидесятый член прогрессии можно найти по формуле $n$-го нечётного числа $2n-1$: $a_{70} = 2 \times 70 - 1 = 139$.

Воспользуемся той же формулой суммы арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \times n$

Подставив наши значения, получаем:

$S_{70} = \frac{1 + 139}{2} \times 70 = \frac{140}{2} \times 70 = 70 \times 70 = 4900$.

Способ 2: Использование свойства суммы первых нечётных чисел.

Существует свойство, согласно которому сумма первых $n$ натуральных нечётных чисел равна квадрату их количества, то есть $n^2$.

$S_n = 1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2$

В нашей задаче нужно найти сумму первых 70 нечётных чисел, значит $n=70$.

Используя это свойство, получаем:

$S_{70} = 70^2 = 4900$.

Ответ: 4900.