Номер 376, страница 142 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.3 Сумма первых n членов арифметической прогрессии. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 376, страница 142.

376 Вычислите двумя способами — с помощью формулы (1) и формулы (2) — сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии:

а) 1; 5; 9; ...

б) -50; -35; -20; ...;

в) 8; 3; -2; ... .

Для вычисления суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии будем использовать две формулы:

Формула (1) — через первый и n-й члены: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Формула (2) — через первый член и разность: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.

В условии задачи требуется найти сумму первых двадцати членов, поэтому $n=20$.

а) 1; 5; 9; ...

Для данной арифметической прогрессии первый член $a_1 = 1$, а разность $d = a_2 - a_1 = 5 - 1 = 4$.

1 способ (с помощью формулы (1)):
Сначала найдем 20-й член прогрессии по формуле $a_n = a_1 + d(n-1)$:
$a_{20} = 1 + 4 \cdot (20-1) = 1 + 4 \cdot 19 = 1 + 76 = 77$.
Теперь вычислим сумму первых 20 членов:
$S_{20} = \frac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20 = \frac{1 + 77}{2} \cdot 20 = \frac{78}{2} \cdot 20 = 39 \cdot 20 = 780$.

2 способ (с помощью формулы (2)):
Подставим известные значения $a_1=1$ и $d=4$ в формулу:
$S_{20} = \frac{2a_1 + d(20-1)}{2} \cdot 20 = \frac{2 \cdot 1 + 4 \cdot 19}{2} \cdot 20 = \frac{2 + 76}{2} \cdot 20 = \frac{78}{2} \cdot 20 = 39 \cdot 20 = 780$.

Ответ: 780.

б) -50; -35; -20; ...

Для данной арифметической прогрессии первый член $a_1 = -50$, а разность $d = a_2 - a_1 = -35 - (-50) = -35 + 50 = 15$.

1 способ (с помощью формулы (1)):
Сначала найдем 20-й член прогрессии:
$a_{20} = -50 + 15 \cdot (20-1) = -50 + 15 \cdot 19 = -50 + 285 = 235$.
Теперь вычислим сумму:
$S_{20} = \frac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20 = \frac{-50 + 235}{2} \cdot 20 = \frac{185}{2} \cdot 20 = 185 \cdot 10 = 1850$.

2 способ (с помощью формулы (2)):
Подставим известные значения $a_1=-50$ и $d=15$ в формулу:
$S_{20} = \frac{2 \cdot (-50) + 15 \cdot (20-1)}{2} \cdot 20 = \frac{-100 + 15 \cdot 19}{2} \cdot 20 = \frac{-100 + 285}{2} \cdot 20 = \frac{185}{2} \cdot 20 = 185 \cdot 10 = 1850$.

Ответ: 1850.

в) 8; 3; -2; ...

Для данной арифметической прогрессии первый член $a_1 = 8$, а разность $d = a_2 - a_1 = 3 - 8 = -5$.

1 способ (с помощью формулы (1)):
Сначала найдем 20-й член прогрессии:
$a_{20} = 8 + (-5) \cdot (20-1) = 8 - 5 \cdot 19 = 8 - 95 = -87$.
Теперь вычислим сумму:
$S_{20} = \frac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20 = \frac{8 + (-87)}{2} \cdot 20 = \frac{-79}{2} \cdot 20 = -79 \cdot 10 = -790$.

2 способ (с помощью формулы (2)):
Подставим известные значения $a_1=8$ и $d=-5$ в формулу:
$S_{20} = \frac{2 \cdot 8 + (-5) \cdot (20-1)}{2} \cdot 20 = \frac{16 - 5 \cdot 19}{2} \cdot 20 = \frac{16 - 95}{2} \cdot 20 = \frac{-79}{2} \cdot 20 = -79 \cdot 10 = -790$.

Ответ: -790.