Номер 379, страница 142 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.3 Сумма первых n членов арифметической прогрессии. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 379, страница 142.

379. Арифметическая прогрессия задана формулой n-го члена $a_n = 4n + 2$.

Найдите:

а) $S_{10}$;

б) $S_{20}$;

в) $S_n$.

Арифметическая прогрессия задана формулой n-го члена $a_n = 4n + 2$. Для нахождения суммы первых $n$ членов ($S_n$) используется формула $S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}$.

Сначала найдем первый член прогрессии $a_1$, подставив $n=1$ в исходную формулу:
$a_1 = 4 \cdot 1 + 2 = 6$.

а) Чтобы найти $S_{10}$, сначала вычислим 10-й член прогрессии $a_{10}$:
$a_{10} = 4 \cdot 10 + 2 = 42$.
Теперь, используя значения $a_1=6$ и $a_{10}=42$, вычислим сумму:
$S_{10} = \frac{(a_1 + a_{10}) \cdot 10}{2} = \frac{(6 + 42) \cdot 10}{2} = \frac{48 \cdot 10}{2} = 24 \cdot 10 = 240$.
Ответ: $240$.

б) Чтобы найти $S_{20}$, сначала вычислим 20-й член прогрессии $a_{20}$:
$a_{20} = 4 \cdot 20 + 2 = 82$.
Теперь, используя значения $a_1=6$ и $a_{20}=82$, вычислим сумму:
$S_{20} = \frac{(a_1 + a_{20}) \cdot 20}{2} = \frac{(6 + 82) \cdot 20}{2} = \frac{88 \cdot 20}{2} = 44 \cdot 20 = 880$.
Ответ: $880$.

в) Чтобы найти общую формулу для $S_n$, подставим известные выражения для $a_1=6$ и $a_n = 4n + 2$ в формулу суммы и упростим:
$S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2} = \frac{(6 + (4n + 2))n}{2} = \frac{(4n + 8)n}{2} = \frac{2(2n + 4)n}{2} = (2n + 4)n = 2n^2 + 4n$.
Ответ: $S_n = 2n^2 + 4n$.