Номер 382, страница 142 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.3 Сумма первых n членов арифметической прогрессии. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 382, страница 142.

382 Треугольные числа изображают в виде треугольников, составленных из шаров (рис. 4.7). Определите:

1) сколько шаров в двадцать пятом треугольнике;

2) в каком по счёту треугольнике 55 шаров.

Рис. 4.7

$1$

$1 + 2$

$1 + 2 + 3$

$1 + 2 + 3 + 4$

$1 + 2 + 3 + 4 + 5$

1) Количество шаров в n-ом треугольнике (так называемое n-ое треугольное число) равно сумме натуральных чисел от 1 до n. Эту сумму можно вычислить по формуле суммы арифметической прогрессии:
$T_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$
Чтобы найти, сколько шаров в двадцать пятом треугольнике, необходимо вычислить $T_{25}$, то есть подставить $n=25$ в формулу:
$T_{25} = \frac{25(25+1)}{2} = \frac{25 \times 26}{2} = 25 \times 13 = 325$
Ответ: 325 шаров.

2) В этом случае нам известно количество шаров, $T_n = 55$, и требуется найти номер треугольника n. Воспользуемся той же формулой:
$55 = \frac{n(n+1)}{2}$
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
$110 = n(n+1)$
Нам нужно найти такое натуральное число n, что его произведение на следующее за ним число (n+1) равно 110. Можно решить это уравнение подбором. Очевидно, что $10 \times 11 = 110$.
Следовательно, $n=10$.
В качестве альтернативы можно решить квадратное уравнение:
$n^2 + n - 110 = 0$
Корни этого уравнения $n_1 = 10$ и $n_2 = -11$. Так как номер треугольника должен быть положительным числом, нам подходит только корень $n=10$.
Ответ: в десятом.