Номер 389, страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.3 Сумма первых n членов арифметической прогрессии. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 389, страница 143.

389 Продолжительность прогулки грудного ребёнка в первый день составляет 20 мин. Затем она увеличивается ежедневно на 10 мин и доводится до 2 ч в день. На какой по счёту день длительность прогулки составит 2 ч, и сколько всего времени за эти дни ребёнок проведёт на воздухе?

На какой по счёту день длительность прогулки составит 2 ч

Последовательность продолжительности прогулок представляет собой арифметическую прогрессию. Определим её параметры:
- Первый член прогрессии (продолжительность в первый день): $a_1 = 20$ мин.
- Разность прогрессии (ежедневное увеличение): $d = 10$ мин.
- Конечная продолжительность прогулки, или n-й член прогрессии: $a_n = 2$ ч.

Для проведения расчётов необходимо привести все величины к единой единице измерения, например, к минутам.
$a_n = 2 \text{ ч} = 2 \times 60 = 120$ мин.

Чтобы найти, на какой по счёту день ($n$) длительность прогулки достигнет 120 минут, используем формулу n-го члена арифметической прогрессии:
$a_n = a_1 + (n-1)d$

Подставим в формулу известные нам значения и найдём $n$:
$120 = 20 + (n-1) \cdot 10$
$120 - 20 = (n-1) \cdot 10$
$100 = (n-1) \cdot 10$
$n-1 = \frac{100}{10}$
$n-1 = 10$
$n = 11$

Таким образом, продолжительность прогулки достигнет 2 часов на 11-й день.

Ответ: на 11-й день.

Cколько всего времени за эти дни ребёнок проведёт на воздухе

Чтобы найти общее время, которое ребёнок проведёт на воздухе за все эти дни, нужно найти сумму первых $n=11$ членов нашей арифметической прогрессии.

Для этого воспользуемся формулой суммы первых n членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Нам известны все необходимые значения:
$a_1 = 20$ мин, $a_{11} = 120$ мин, $n = 11$.

Подставляем их в формулу:
$S_{11} = \frac{20 + 120}{2} \cdot 11$
$S_{11} = \frac{140}{2} \cdot 11$
$S_{11} = 70 \cdot 11$
$S_{11} = 770$ мин

Общее время, проведённое на воздухе, составляет 770 минут. Для наглядности переведём это время в часы и минуты:
$770 \text{ мин} = \lfloor \frac{770}{60} \rfloor \text{ ч } + (770 \pmod{60}) \text{ мин} = 12 \text{ ч } 50 \text{ мин}$.

Ответ: 12 часов 50 минут.