Номер 392, страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.3 Сумма первых n членов арифметической прогрессии. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 392, страница 143.

ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ

Известно, что последовательность $ (a_n) $ — арифметическая прогрессия.

1) Возьмём отрезок (часть) этой прогрессии от $a_1$ до $a_{50}$:

$a_1$; $a_2$; $a_3$; $a_4$; ...; $a_{48}$; $a_{49}$; $a_{50}$.

Сравните с суммой первого и последнего членов, т.е. с числом $a_1 + a_{50}$, суммы: $a_2 + a_{49}$, $a_4 + a_{47}$, $a_{10} + a_{41}$. Сделайте вывод.

2) Возьмём отрезок прогрессии $ (a_n) $, содержащий $n$ членов:

$a_1$; $a_2$; $a_3$; ...; $a_{n-1}$; $a_n$.

Докажите, что сумма членов, равноудалённых от концов, равна сумме первого и последнего членов.

Подсказка. Обозначьте члены прогрессии, равноудалённые от $a_1$ и $a_n$, через $a_k$ и $a_{n-k+1}$.

3) Пусть $a_5 + a_{16} = 29.5$. Найдите: $a_1 + a_{20}$; $S_{20}$.

1)

По определению арифметической прогрессии, n-й член $a_n$ можно выразить через первый член $a_1$ и разность прогрессии $d$ по формуле: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Сравним сумму первого и последнего членов отрезка прогрессии, $a_1 + a_{50}$, с заданными суммами. Выразим $a_1 + a_{50}$ через $a_1$ и $d$:
$a_1 + a_{50} = a_1 + (a_1 + (50-1)d) = 2a_1 + 49d$.

Теперь рассмотрим другие суммы и выразим их также через $a_1$ и $d$:
Сумма $a_2 + a_{49}$: $a_2 + a_{49} = (a_1 + (2-1)d) + (a_1 + (49-1)d) = (a_1 + d) + (a_1 + 48d) = 2a_1 + 49d$.
Сумма $a_4 + a_{47}$: $a_4 + a_{47} = (a_1 + (4-1)d) + (a_1 + (47-1)d) = (a_1 + 3d) + (a_1 + 46d) = 2a_1 + 49d$.
Сумма $a_{10} + a_{41}$: $a_{10} + a_{41} = (a_1 + (10-1)d) + (a_1 + (41-1)d) = (a_1 + 9d) + (a_1 + 40d) = 2a_1 + 49d$.

Все вычисленные суммы равны $2a_1 + 49d$, что в свою очередь равно $a_1 + a_{50}$.

Вывод: Сумма членов арифметической прогрессии, равноудаленных от ее концов, постоянна и равна сумме крайних членов. Это можно заметить по индексам: $1+50 = 51$, $2+49 = 51$, $4+47 = 51$, $10+41 = 51$.

Ответ: Все указанные суммы ($a_2 + a_{49}$, $a_4 + a_{47}$, $a_{10} + a_{41}$) равны между собой и равны сумме первого и последнего членов $a_1 + a_{50}$.

2)

Необходимо доказать, что для отрезка арифметической прогрессии $a_1, a_2, \dots, a_n$ сумма членов, равноудаленных от концов, равна сумме первого и последнего членов. Согласно подсказке, члены, равноудаленные от концов, это $a_k$ и $a_{n-k+1}$ для $1 \le k \le n$. Требуется доказать равенство: $a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n$.

Пусть $d$ — разность прогрессии. Используем формулу n-го члена $a_m = a_1 + (m-1)d$.

Выразим левую часть равенства через $a_1$ и $d$:
$a_k = a_1 + (k-1)d$
$a_{n-k+1} = a_1 + ((n-k+1)-1)d = a_1 + (n-k)d$
Их сумма: $a_k + a_{n-k+1} = (a_1 + (k-1)d) + (a_1 + (n-k)d) = 2a_1 + (k-1+n-k)d = 2a_1 + (n-1)d$.

Теперь выразим правую часть равенства через $a_1$ и $d$:
$a_n = a_1 + (n-1)d$
Сумма $a_1$ и $a_n$: $a_1 + a_n = a_1 + (a_1 + (n-1)d) = 2a_1 + (n-1)d$.

Поскольку левая и правая части равенства равны одному и тому же выражению $2a_1 + (n-1)d$, они равны между собой. Таким образом, $a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

3)

Дано, что $a_5 + a_{16} = 29.5$. Требуется найти $a_1 + a_{20}$ и $S_{20}$.

Рассмотрим отрезок прогрессии из 20 членов: $a_1, a_2, \dots, a_{20}$.

Используем свойство, доказанное в пункте 2: сумма членов, равноудаленных от концов, равна сумме крайних членов. Для нашего отрезка ($n=20$) это свойство записывается как $a_k + a_{20-k+1} = a_1 + a_{20}$.

Проверим, являются ли члены $a_5$ и $a_{16}$ равноудаленными от концов отрезка $a_1, \dots, a_{20}$. Для $k=5$ второй член будет $a_{20-5+1} = a_{16}$. Таким образом, $a_5$ и $a_{16}$ равноудалены от концов.

Следовательно, $a_1 + a_{20} = a_5 + a_{16}$. Так как $a_5 + a_{16} = 29.5$, то $a_1 + a_{20} = 29.5$.

Теперь найдем сумму первых 20 членов прогрессии, $S_{20}$. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

При $n=20$ имеем: $S_{20} = \frac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20$.

Подставим найденное значение суммы $a_1 + a_{20}$ в формулу:
$S_{20} = \frac{29.5}{2} \cdot 20 = 29.5 \cdot 10 = 295$.

Ответ: $a_1 + a_{20} = 29.5$; $S_{20} = 295$.