Номер 390, страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.3 Сумма первых n членов арифметической прогрессии. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 390, страница 143.

390 Игорь начал утренние тренировки в беге с 2 км в день. Он решил каждую неделю увеличивать эту дистанцию в арифметической прогрессии так, чтобы в одиннадцатую неделю пробегать по 4 км в день. На какое расстояние ему надо увеличивать дистанцию еженедельно? Сколько всего километров он пробежит за 11 недель?

На какое расстояние ему надо увеличивать дистанцию еженедельно?
Данная задача описывает арифметическую прогрессию, где каждый член $a_n$ — это дистанция, которую Игорь пробегает ежедневно на n-й неделе. Нам даны следующие значения:
- дистанция в первую неделю (первый член прогрессии): $a_1 = 2$ км.
- дистанция в одиннадцатую неделю (одиннадцатый член прогрессии): $a_{11} = 4$ км.
- количество недель: $n = 11$.
Еженедельное увеличение дистанции — это разность арифметической прогрессии $d$. Для нахождения $d$ воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные нам значения:
$a_{11} = a_1 + (11-1)d$
$4 = 2 + 10d$
Решим полученное уравнение:
$10d = 4 - 2$
$10d = 2$
$d = \frac{2}{10} = 0.2$ км.
Таким образом, каждую неделю Игорь должен увеличивать дневную дистанцию на 0.2 км (или 200 метров).
Ответ: на 0.2 км.

Сколько всего километров он пробежит за 11 недель?
Чтобы найти общее расстояние за 11 недель, нужно сначала рассчитать суммарную дистанцию за все дни. Поскольку в неделе 7 дней, а дистанция $a_n$ указана на один день, то за n-ю неделю Игорь пробегает $7 \cdot a_n$ км.
Общее расстояние за 11 недель будет равно сумме расстояний за каждую неделю: $7a_1 + 7a_2 + ... + 7a_{11} = 7 \cdot (a_1 + a_2 + ... + a_{11})$.
Выражение в скобках — это сумма первых 11 членов арифметической прогрессии $S_{11}$.
Вычислим $S_{11}$ по формуле суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
$S_{11} = \frac{a_1 + a_{11}}{2} \cdot 11$
$S_{11} = \frac{2 + 4}{2} \cdot 11$
$S_{11} = \frac{6}{2} \cdot 11 = 3 \cdot 11 = 33$.
Теперь умножим эту сумму на 7, чтобы получить общее расстояние за все дни 11 недель:
Общее расстояние = $S_{11} \times 7 = 33 \times 7 = 231$ км.
Ответ: 231 км.