Номер 383, страница 142 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.3 Сумма первых n членов арифметической прогрессии. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 383, страница 142.

383 Арифметическая прогрессия $(a_n)$ задана формулой $n$-го члена $a_n = 10 - 4n$.

Составьте формулу для вычисления суммы первых $n$ членов этой прогрессии.

Пользуясь этой формулой:

1) найдите сумму первых тридцати членов прогрессии $(a_n)$;

2) выясните, сколько членов прогрессии $(a_n)$, начиная с первого, сложили, если сумма оказалась равной -120.

Дана арифметическая прогрессия $(a_n)$, заданная формулой $n$-го члена $a_n = 10 - 4n$.

Для начала составим формулу для вычисления суммы первых $n$ членов этой прогрессии, $S_n$. Классическая формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии выглядит так:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Чтобы воспользоваться этой формулой, нам нужно найти первый член прогрессии $a_1$. Подставим $n=1$ в заданную формулу:

$a_1 = 10 - 4 \cdot 1 = 10 - 4 = 6$

Теперь подставим найденное значение $a_1=6$ и данное выражение для $a_n$ в формулу суммы:

$S_n = \frac{6 + (10 - 4n)}{2} \cdot n$

Упростим это выражение:

$S_n = \frac{16 - 4n}{2} \cdot n$

$S_n = (8 - 2n) \cdot n$

$S_n = 8n - 2n^2$

Таким образом, формула для вычисления суммы первых $n$ членов данной прогрессии: $S_n = 8n - 2n^2$.

1) найдите сумму первых тридцати членов прогрессии $(a_n)$;

Для нахождения суммы первых тридцати членов прогрессии ($S_{30}$) воспользуемся выведенной формулой, подставив в нее $n=30$:

$S_{30} = 8 \cdot 30 - 2 \cdot (30)^2$

$S_{30} = 240 - 2 \cdot 900$

$S_{30} = 240 - 1800$

$S_{30} = -1560$

Ответ: -1560.

2) выясните, сколько членов прогрессии $(a_n)$, начиная с первого, сложили, если сумма оказалась равной –120.

В этом задании нам дана сумма $S_n = -120$, и требуется найти количество членов $n$. Подставим известное значение суммы в нашу формулу:

$-120 = 8n - 2n^2$

Мы получили квадратное уравнение относительно $n$. Перенесем все слагаемые в одну часть, чтобы привести его к стандартному виду $an^2 + bn + c = 0$:

$2n^2 - 8n - 120 = 0$

Для упрощения вычислений разделим обе части уравнения на 2:

$n^2 - 4n - 60 = 0$

Решим это уравнение, например, через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 16 + 240 = 256$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n_1 = \frac{4 + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 16}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$n_2 = \frac{4 - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 16}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Поскольку $n$ обозначает количество членов прогрессии, оно должно быть натуральным (целым положительным) числом. Корень $n_2 = -6$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он не является решением задачи. Единственный подходящий корень — $n_1 = 10$.

Ответ: 10.