Номер 380, страница 142 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.3 Сумма первых n членов арифметической прогрессии. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 380, страница 142.

380 Арифметическая прогрессия $(c_n)$ задана рекуррентным способом: $c_1 = 1,2$, $c_{n+1} = c_n + 1,5$. Найдите:

а) $S_{15}$

б) $S_{40}$

в) $S_n$

Данная арифметическая прогрессия $(c_n)$ задана рекуррентным способом.
Из условия нам известны первый член прогрессии $c_1 = 1,2$ и рекуррентная формула $c_{n+1} = c_n + 1,5$.
Из рекуррентной формулы следует, что разность арифметической прогрессии $d$ равна $1,5$, так как $d = c_{n+1} - c_n = 1,5$.
Для решения задачи воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2c_1 + d(n-1)}{2}n$

a)
Требуется найти $S_{15}$. Для этого подставим в формулу суммы значения $n=15$, $c_1=1,2$ и $d=1,5$:
$S_{15} = \frac{2 \cdot 1,2 + 1,5(15-1)}{2} \cdot 15$
Выполним вычисления:
$S_{15} = \frac{2,4 + 1,5 \cdot 14}{2} \cdot 15$
$S_{15} = \frac{2,4 + 21}{2} \cdot 15$
$S_{15} = \frac{23,4}{2} \cdot 15$
$S_{15} = 11,7 \cdot 15 = 175,5$
Ответ: $175,5$.

б)
Требуется найти $S_{40}$. Подставим в формулу суммы значения $n=40$, $c_1=1,2$ и $d=1,5$:
$S_{40} = \frac{2 \cdot 1,2 + 1,5(40-1)}{2} \cdot 40$
Выполним вычисления, сократив дробь на 2:
$S_{40} = (2 \cdot 1,2 + 1,5 \cdot 39) \cdot \frac{40}{2}$
$S_{40} = (2,4 + 58,5) \cdot 20$
$S_{40} = 60,9 \cdot 20 = 1218$
Ответ: $1218$.

в)
Требуется найти формулу для $S_n$. Для этого подставим в общую формулу суммы известные для данной прогрессии значения $c_1=1,2$ и $d=1,5$:
$S_n = \frac{2 \cdot 1,2 + 1,5(n-1)}{2}n$
Упростим выражение в числителе:
$S_n = \frac{2,4 + 1,5n - 1,5}{2}n$
$S_n = \frac{1,5n + 0,9}{2}n$
Теперь можно раскрыть скобки и/или разделить на 2, чтобы получить конечную формулу:
$S_n = (0,75n + 0,45)n = 0,75n^2 + 0,45n$
Ответ: $S_n = 0,75n^2 + 0,45n$.