Номер 373, страница 139 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.2 Арифметическая прогрессия. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 373, страница 139.

373 Первые шесть членов арифметической прогрессии $(a_n)$ изображены точками на координатной плоскости (рис. 4.6, а, б). Найдите $a_1$ и $d$. Запишите уравнение линии, на которой лежат отмеченные точки.

Puc. 4.6

а

б

Точки на графиках представляют собой члены арифметической прогрессии $(a_n)$, где абсцисса точки - это номер члена $n$ (начиная с $n=1$), а ордината - значение этого члена $a_n$. Таким образом, точки имеют координаты $(n, a_n)$.

а)

Рассмотрим график 'а'.

1. Найдем $a_1$ и $d$.
Первая точка на графике соответствует первому члену прогрессии ($n=1$). Ее координаты $(1, -2)$. Следовательно, первый член прогрессии $a_1 = -2$.
Вторая точка соответствует второму члену ($n=2$) и имеет координаты $(2, -1)$. Следовательно, $a_2 = -1$.
Разность арифметической прогрессии $d$ можно найти как разность между последующим и предыдущим членами: $d = a_2 - a_1$.
$d = -1 - (-2) = -1 + 2 = 1$.
Для проверки можно взять третью точку $(3, 0)$, тогда $a_3 = 0$, и $d = a_3 - a_2 = 0 - (-1) = 1$. Разность постоянна.

2. Запишем уравнение линии.
Точки, представляющие члены арифметической прогрессии, лежат на одной прямой. Уравнение этой прямой можно получить из формулы $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим найденные значения $a_1 = -2$ и $d = 1$:
$a_n = -2 + (n-1) \cdot 1 = -2 + n - 1 = n - 3$.
Поскольку на координатной плоскости $x$ соответствует номеру члена $n$, а $y$ - его значению $a_n$, то уравнение линии имеет вид: $y = x - 3$.

Ответ: $a_1 = -2$, $d = 1$, уравнение линии: $y = x - 3$.

б)

Рассмотрим график 'б'.

1. Найдем $a_1$ и $d$.
Первая точка на графике ($n=1$) имеет координаты $(1, 3)$. Следовательно, $a_1 = 3$.
Вторая точка ($n=2$) имеет координаты $(2, 2)$. Следовательно, $a_2 = 2$.
Найдем разность прогрессии $d$:
$d = a_2 - a_1 = 2 - 3 = -1$.
Проверим по третьей точке $(3, 1)$: $a_3 = 1$, $d = a_3 - a_2 = 1 - 2 = -1$. Разность постоянна.

2. Запишем уравнение линии.
Используем формулу $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим найденные значения $a_1 = 3$ и $d = -1$:
$a_n = 3 + (n-1) \cdot (-1) = 3 - n + 1 = 4 - n$.
Заменяя $n$ на $x$ и $a_n$ на $y$, получаем уравнение линии: $y = 4 - x$, или $y = -x + 4$.

Ответ: $a_1 = 3$, $d = -1$, уравнение линии: $y = -x + 4$.