Номер 370, страница 139 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.2 Арифметическая прогрессия. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 370, страница 139.

370 Фигуры составлены из квадратов, как показано на рисунке 4.5. Сколько квадратов должно быть в фигуре под номером 40, если эта закономерность сохранится?

Рис. 4.5

Для решения задачи проанализируем последовательность фигур и определим закономерность изменения количества квадратов. Обозначим номер фигуры как $n$, а количество квадратов в ней как $K_n$.

Посчитаем количество квадратов для первых трех фигур, показанных на рисунке:

• Для фигуры с номером $n=1$, количество квадратов $K_1 = 5$.
• Для фигуры с номером $n=2$, количество квадратов $K_2 = 7$.
• Для фигуры с номером $n=3$, количество квадратов $K_3 = 9$.

Можно заметить, что количество квадратов в каждой следующей фигуре увеличивается на 2. Таким образом, последовательность количеств квадратов 5, 7, 9, ... представляет собой арифметическую прогрессию. Первый член этой прогрессии $a_1 = 5$, а разность прогрессии $d = 2$.

Для нахождения количества квадратов в фигуре с любым номером $n$ можно вывести общую формулу. Существует два способа.

Способ 1: Использование формулы арифметической прогрессии.
Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения в формулу, чтобы найти количество квадратов $K_n$ для фигуры с номером $n$:
$K_n = 5 + (n-1) \times 2 = 5 + 2n - 2 = 2n + 3$.

Способ 2: Анализ структуры фигуры.
Каждая фигура состоит из центрального горизонтального ряда и двух квадратов, примыкающих к нему сверху и снизу. Длина горизонтального ряда для фигуры с номером $n$ составляет $2n+1$ квадратов.

• При $n=1$, длина ряда $2 \times 1 + 1 = 3$ квадрата.
• При $n=2$, длина ряда $2 \times 2 + 1 = 5$ квадратов.
• При $n=3$, длина ряда $2 \times 3 + 1 = 7$ квадратов.

Тогда общее количество квадратов $K_n$ в фигуре $n$ равно сумме квадратов в горизонтальном ряду и двух дополнительных квадратов: $K_n = (2n+1) + 2 = 2n + 3$.

Обе формулы совпадают. Теперь, используя полученную формулу $K_n = 2n + 3$, найдем количество квадратов в фигуре под номером 40. Для этого подставим $n=40$:

$K_{40} = 2 \times 40 + 3 = 80 + 3 = 83$.

Таким образом, в фигуре под номером 40 должно быть 83 квадрата.

Ответ: 83