Номер 374, страница 139 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.2 Арифметическая прогрессия. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 374, страница 139.

374 Самолёт начал снижение на высоте 8000 м и первые десять минут снижался на 500 м в минуту.

а) Запишите формулу для вычисления высоты $h_n$, на которой окажется самолёт через $n$ минут после начала снижения.

б) На какой высоте будет самолёт через 7 мин после начала снижения?

в) На какой минуте самолёт окажется ниже 3000 м над уровнем земли?

г) Изобразите точками на координатной плоскости первые десять членов последовательности $(h_n)$.

а) Изначальная высота самолёта составляет $h_0 = 8000$ м. Скорость снижения постоянна и равна 500 м в минуту. Это означает, что за $n$ минут самолёт снизится на $500 \times n$ метров. Высота $h_n$ через $n$ минут после начала снижения будет равна начальной высоте минус общее снижение. Таким образом, формула для вычисления высоты:

$h_n = 8000 - 500n$

Данная последовательность является арифметической прогрессией, где $h_0 = 8000$ (высота в момент $n=0$), а разность прогрессии $d = -500$.
Ответ: Формула для вычисления высоты: $h_n = 8000 - 500n$, где $n$ — количество минут после начала снижения.

б) Чтобы найти высоту самолёта через 7 минут после начала снижения, нужно подставить $n=7$ в формулу, полученную в пункте а).

$h_7 = 8000 - 500 \times 7 = 8000 - 3500 = 4500$ м.

Ответ: Через 7 минут самолёт будет на высоте 4500 м.

в) Чтобы найти, на какой минуте самолёт окажется ниже 3000 м, составим и решим неравенство $h_n < 3000$:

$8000 - 500n < 3000$

Вычтем 8000 из обеих частей неравенства:

$-500n < 3000 - 8000$

$-500n < -5000$

Разделим обе части на -500. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$n > \frac{-5000}{-500}$

$n > 10$

Неравенство $n > 10$ означает, что высота станет ниже 3000 м после 10-й минуты. Наименьшее целое число минут, удовлетворяющее этому условию, — это 11. Проверим: на конец 10-й минуты высота равна $h_{10} = 8000 - 500 \times 10 = 3000$ м. Сразу после этого момента высота становится меньше 3000 м. Это происходит в течение 11-й минуты.

Ответ: Самолёт окажется ниже 3000 м над уровнем земли на 11-й минуте.

г) Для построения графика нужно вычислить значения высоты $h_n$ для первых десяти минут (от $n=1$ до $n=10$).

• $h_1 = 8000 - 500(1) = 7500$
• $h_2 = 8000 - 500(2) = 7000$
• $h_3 = 8000 - 500(3) = 6500$
• $h_4 = 8000 - 500(4) = 6000$
• $h_5 = 8000 - 500(5) = 5500$
• $h_6 = 8000 - 500(6) = 5000$
• $h_7 = 8000 - 500(7) = 4500$
• $h_8 = 8000 - 500(8) = 4000$
• $h_9 = 8000 - 500(9) = 3500$
• $h_{10} = 8000 - 500(10) = 3000$

Теперь изобразим точки с координатами $(n, h_n)$ на координатной плоскости, где по оси абсцисс отложено время $n$ в минутах, а по оси ординат — высота $h_n$ в метрах.

Ответ: Точки, представляющие первые десять членов последовательности высот, изображены на координатной плоскости выше. Они лежат на одной прямой.