Номер 381, страница 142 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.3 Сумма первых n членов арифметической прогрессии. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 381, страница 142.

381 1) Найдите сумму первых шестидесяти натуральных чисел.

2) Определите, сколько последовательных натуральных чисел, начиная с 1, надо сложить, чтобы в сумме получить 210.

1)

Чтобы найти сумму первых шестидесяти натуральных чисел (от 1 до 60), мы можем использовать формулу суммы арифметической прогрессии. Последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, ... является арифметической прогрессией с первым членом $a_1 = 1$ и разностью $d = 1$.

Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

В нашем случае, количество членов $n = 60$, первый член $a_1 = 1$, а последний член $a_{60} = 60$.

Подставим эти значения в формулу:

$S_{60} = \frac{1 + 60}{2} \cdot 60 = \frac{61}{2} \cdot 60 = 61 \cdot 30 = 1830$

Таким образом, сумма первых шестидесяти натуральных чисел равна 1830.

Ответ: 1830

2)

Нам нужно определить, сколько последовательных натуральных чисел $n$, начиная с 1, нужно сложить, чтобы получить сумму 210. Это также задача на нахождение числа членов арифметической прогрессии по её сумме.

Известно, что сумма $S_n = 210$, первый член $a_1 = 1$, а n-й член $a_n = n$.

Используем ту же формулу суммы:

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

Подставим известные значения:

$210 = \frac{n(1 + n)}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$420 = n(n + 1)$

$n^2 + n = 420$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$n^2 + n - 420 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. Воспользуемся формулой с дискриминантом $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 1 + 1680 = 1681$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{1681} = 41$.

Найдем корни уравнения:

$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 41}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 41}{2} = \frac{-42}{2} = -21$

Так как количество чисел $n$ должно быть натуральным числом, отрицательный корень $n_2 = -21$ не подходит.

Следовательно, нужно сложить 20 последовательных натуральных чисел.

Ответ: 20