Номер 385, страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.3 Сумма первых n членов арифметической прогрессии. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 385, страница 143.

385 Фигура, изображённая на рисунке 4.8, состоит из столбцов, каждый из которых на 2 единицы выше предыдущего. Основание каждого столбца равно 1.

Рис. 4.8

1) Найдите площадь фигуры (в кв. ед.), если в ней 8 столбцов; 20 столбцов; $n$ столбцов.

2) Сколько всего столбцов в фигуре, если её площадь равна 100 кв. ед.?

Для решения задачи сначала выведем общую формулу для площади фигуры, состоящей из $n$ столбцов. Из условия задачи и рисунка следует, что высота каждого следующего столбца на 2 единицы больше предыдущего, а высота первого столбца равна 2. Таким образом, высоты столбцов образуют арифметическую прогрессию: 2, 4, 6, 8, ... Высота $k$-го столбца $h_k$ определяется по формуле $h_k = 2k$. Основание каждого столбца равно 1. Следовательно, площадь $k$-го столбца равна его высоте: $A_k = 1 \cdot h_k = 2k$. Общая площадь фигуры $S_n$, состоящей из $n$ столбцов, — это сумма площадей всех столбцов: $S_n = A_1 + A_2 + \dots + A_n = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + \dots + 2 \cdot n = 2(1 + 2 + \dots + n)$. Сумма первых $n$ натуральных чисел вычисляется по формуле $\frac{n(n+1)}{2}$. Подставив это в наше выражение, получим формулу для площади фигуры: $S_n = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$.

1) Теперь, используя выведенную формулу $S_n = n(n+1)$, найдем площадь фигуры для заданного количества столбцов.
- Если в фигуре 8 столбцов ($n=8$):
$S_8 = 8 \cdot (8+1) = 8 \cdot 9 = 72$ кв. ед.
- Если в фигуре 20 столбцов ($n=20$):
$S_{20} = 20 \cdot (20+1) = 20 \cdot 21 = 420$ кв. ед.
- Если в фигуре n столбцов:
Площадь выражается формулой $S_n = n(n+1)$ кв. ед.
Ответ: 72 кв. ед.; 420 кв. ед.; $n(n+1)$ кв. ед.

2) Найдем, сколько всего столбцов в фигуре, если её площадь равна 100 кв. ед.
Нам нужно найти такое натуральное число $n$, для которого $S_n = 100$. Составим уравнение, используя нашу формулу: $n(n+1) = 100$
$n^2 + n - 100 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $n$. Найдем его корни с помощью дискриминанта. $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100) = 1 + 400 = 401$. Так как $D=401$, то $\sqrt{D} = \sqrt{401}$. Это иррациональное число, поскольку $20^2 = 400$ и $21^2 = 441$. Корни уравнения: $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{401}}{2}$. Поскольку количество столбцов $n$ должно быть положительным целым числом, а корни уравнения не являются целыми числами, то не существует такой фигуры с целым числом столбцов, площадь которой была бы равна 100 кв. ед.
Можно также проверить это, сравнив площади для ближайших целых значений $n$:
При $n=9$, площадь $S_9 = 9(9+1) = 90$ кв. ед. (меньше 100).
При $n=10$, площадь $S_{10} = 10(10+1) = 110$ кв. ед. (больше 100).
Поскольку площадь фигуры увеличивается с ростом числа столбцов, это подтверждает, что площадь ровно 100 кв. ед. не может быть достигнута при целом числе столбцов.
Ответ: Не существует такого целого количества столбцов, при котором площадь фигуры была бы равна 100 кв. ед.